Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5049 / 1214
↖ ↑ ↗
← N 77.485088°
E 41.879883°		 ← 1 058.87 m → N 77.485088°
E 41.923828°		 →
↑
1 059.31 m
↓
↑
1 059.31 m
↓
N 77.475562°
E 41.879883°		 ← 1 059.67 m →
1 122 090 m²		 N 77.475562°
E 41.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61639404296875 y=0.14825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61639404296875 × 213)
    floor (0.61639404296875 × 8192)
    floor (5049.5)     		tx = 5049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14825439453125 × 213)
    floor (0.14825439453125 × 8192)
    floor (1214.5)     		ty = 1214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5049 / 1214 ti = "13/5049/1214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5049/1214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5049 ÷ 213
    5049 ÷ 8192     		x = 0.6163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1214 ÷ 213
    1214 ÷ 8192     		y = 0.148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6163330078125 × 2 - 1) × π
    0.232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73094185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148193359375 × 2 - 1) × π
    0.70361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21046631528003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73094185} λ = 0.73094185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21046631528003))-π/2
    2×atan(9.11996818214286)-π/2
    2×1.46158311756451-π/2
    2.92316623512901-1.57079632675     		φ = 1.35236991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73094185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.879883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35236991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.485088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5049 KachelY 1214 0.73094185 1.35236991 41.879883 77.485088
    Oben rechts KachelX + 1 5050 KachelY 1214 0.73170884 1.35236991 41.923828 77.485088
    Unten links KachelX 5049 KachelY + 1 1215 0.73094185 1.35220364 41.879883 77.475562
    Unten rechts KachelX + 1 5050 KachelY + 1 1215 0.73170884 1.35220364 41.923828 77.475562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35236991-1.35220364) × R
    0.000166270000000024 × 6371000     		dl = 1059.30617000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35236991-1.35220364) × R
    0.000166270000000024 × 6371000     		dr = 1059.30617000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73094185-0.73170884) × cos(1.35236991) × R
    0.000766990000000023 × 0.216693697692332 × 6371000     		do = 1058.8722997589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73094185-0.73170884) × cos(1.35220364) × R
    0.000766990000000023 × 0.216856014061769 × 6371000     		du = 1059.66545760901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35236991)-sin(1.35220364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216693697692332-0.216856014061769)×R²
    abs(0.73170884-0.73094185)×0.000162316369437338×R²
    0.000766990000000023×0.000162316369437338×6371000²
    0.000766990000000023×0.000162316369437338×40589641000000     		ar = 1122090.06146536m²