Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50489 / 49205
↖ ↑ ↗
← S 66.629020°
E 97.344361°		 ← 242.29 m → S 66.629020°
E 97.349854°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
S 66.631199°
E 97.344361°		 ← 242.27 m →
58 701 m²		 S 66.631199°
E 97.349854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770408630371094 y=0.750816345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770408630371094 × 216)
    floor (0.770408630371094 × 65536)
    floor (50489.5)     		tx = 50489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750816345214844 × 216)
    floor (0.750816345214844 × 65536)
    floor (49205.5)     		ty = 49205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50489 / 49205 ti = "16/50489/49205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50489/49205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50489 ÷ 216
    50489 ÷ 65536     		x = 0.770401000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49205 ÷ 216
    49205 ÷ 65536     		y = 0.750808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770401000976562 × 2 - 1) × π
    0.540802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69897960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.501617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57587763810973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69897960} λ = 1.69897960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57587763810973))-π/2
    2×atan(0.206825954664245)-π/2
    2×0.203950279525389-π/2
    0.407900559050777-1.57079632675     		φ = -1.16289577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69897960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.344361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16289577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.629020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50489 KachelY 49205 1.69897960 -1.16289577 97.344361 -66.629020
    Oben rechts KachelX + 1 50490 KachelY 49205 1.69907547 -1.16289577 97.349854 -66.629020
    Unten links KachelX 50489 KachelY + 1 49206 1.69897960 -1.16293380 97.344361 -66.631199
    Unten rechts KachelX + 1 50490 KachelY + 1 49206 1.69907547 -1.16293380 97.349854 -66.631199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16289577--1.16293380) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dl = 242.289130000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16289577--1.16293380) × R
    3.80300000000222e-05 × 6371000     		dr = 242.289130000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69897960-1.69907547) × cos(-1.16289577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396683007851926 × 6371000     		do = 242.289129762765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69897960-1.69907547) × cos(-1.16293380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396648097711378 × 6371000     		du = 242.267807075869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16289577)-sin(-1.16293380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396683007851926-0.396648097711378)×R²
    abs(1.69907547-1.69897960)×3.49101405482943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49101405482943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49101405482943e-05×40589641000000     		ar = 58701.439338306m²