Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50487 / 49482
↖ ↑ ↗
← S 67.225306°
E 97.333374°		 ← 236.44 m → S 67.225306°
E 97.338867°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 67.227433°
E 97.333374°		 ← 236.42 m →
55 914 m²		 S 67.227433°
E 97.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770378112792969 y=0.755043029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770378112792969 × 216)
    floor (0.770378112792969 × 65536)
    floor (50487.5)     		tx = 50487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755043029785156 × 216)
    floor (0.755043029785156 × 65536)
    floor (49482.5)     		ty = 49482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50487 / 49482 ti = "16/50487/49482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50487/49482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50487 ÷ 216
    50487 ÷ 65536     		x = 0.770370483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49482 ÷ 216
    49482 ÷ 65536     		y = 0.755035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770370483398438 × 2 - 1) × π
    0.540740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69878785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.51007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60243468049924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69878785} λ = 1.69878785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60243468049924))-π/2
    2×atan(0.201405562381977)-π/2
    2×0.198746696105074-π/2
    0.397493392210147-1.57079632675     		φ = -1.17330293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69878785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.333374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17330293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.225306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50487 KachelY 49482 1.69878785 -1.17330293 97.333374 -67.225306
    Oben rechts KachelX + 1 50488 KachelY 49482 1.69888372 -1.17330293 97.338867 -67.225306
    Unten links KachelX 50487 KachelY + 1 49483 1.69878785 -1.17334005 97.333374 -67.227433
    Unten rechts KachelX + 1 50488 KachelY + 1 49483 1.69888372 -1.17334005 97.338867 -67.227433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17330293--1.17334005) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17330293--1.17334005) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69878785-1.69888372) × cos(-1.17330293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387108386917947 × 6371000     		do = 236.441068393905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69878785-1.69888372) × cos(-1.17334005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387074160741134 × 6371000     		du = 236.420163463693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17330293)-sin(-1.17334005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387108386917947-0.387074160741134)×R²
    abs(1.69888372-1.69878785)×3.42261768135343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42261768135343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42261768135343e-05×40589641000000     		ar = 55913.8357417232m²