Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50485 / 48878
↖ ↑ ↗
← S 65.906139°
E 97.322388°		 ← 249.34 m → S 65.906139°
E 97.327881°		 →
↑
249.36 m
↓
↑
249.36 m
↓
S 65.908381°
E 97.322388°		 ← 249.32 m →
62 174 m²		 S 65.908381°
E 97.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770347595214844 y=0.745826721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770347595214844 × 216)
    floor (0.770347595214844 × 65536)
    floor (50485.5)     		tx = 50485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745826721191406 × 216)
    floor (0.745826721191406 × 65536)
    floor (48878.5)     		ty = 48878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50485 / 48878 ti = "16/50485/48878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50485/48878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50485 ÷ 216
    50485 ÷ 65536     		x = 0.770339965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48878 ÷ 216
    48878 ÷ 65536     		y = 0.745819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770339965820312 × 2 - 1) × π
    0.540679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69859610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.49163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54452690575821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69859610} λ = 1.69859610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54452690575821))-π/2
    2×atan(0.213412811716197)-π/2
    2×0.210258604117135-π/2
    0.42051720823427-1.57079632675     		φ = -1.15027912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69859610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.322388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15027912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.906139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50485 KachelY 48878 1.69859610 -1.15027912 97.322388 -65.906139
    Oben rechts KachelX + 1 50486 KachelY 48878 1.69869197 -1.15027912 97.327881 -65.906139
    Unten links KachelX 50485 KachelY + 1 48879 1.69859610 -1.15031826 97.322388 -65.908381
    Unten rechts KachelX + 1 50486 KachelY + 1 48879 1.69869197 -1.15031826 97.327881 -65.908381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15027912--1.15031826) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dl = 249.360939999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15027912--1.15031826) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dr = 249.360939999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69859610-1.69869197) × cos(-1.15027912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		do = 249.343512563666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69859610-1.69869197) × cos(-1.15031826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		du = 249.321688900094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15027912)-sin(-1.15031826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408232654304245-0.408196923949705)×R²
    abs(1.69869197-1.69859610)×3.57303545407417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57303545407417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57303545407417e-05×40589641000000     		ar = 62173.8116985915m²