Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50484 / 48858
↖ ↑ ↗
← S 65.861250°
E 97.316895°		 ← 249.78 m → S 65.861250°
E 97.322388°		 →
↑
249.74 m
↓
↑
249.74 m
↓
S 65.863496°
E 97.316895°		 ← 249.76 m →
62 378 m²		 S 65.863496°
E 97.322388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770332336425781 y=0.745521545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770332336425781 × 216)
    floor (0.770332336425781 × 65536)
    floor (50484.5)     		tx = 50484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745521545410156 × 216)
    floor (0.745521545410156 × 65536)
    floor (48858.5)     		ty = 48858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50484 / 48858 ti = "16/50484/48858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50484/48858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50484 ÷ 216
    50484 ÷ 65536     		x = 0.77032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48858 ÷ 216
    48858 ÷ 65536     		y = 0.745513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77032470703125 × 2 - 1) × π
    0.5406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69850023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.49102783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54260942977341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69850023} λ = 1.69850023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54260942977341))-π/2
    2×atan(0.213822418237345)-π/2
    2×0.210650334980833-π/2
    0.421300669961666-1.57079632675     		φ = -1.14949566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69850023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.316895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14949566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.861250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50484 KachelY 48858 1.69850023 -1.14949566 97.316895 -65.861250
    Oben rechts KachelX + 1 50485 KachelY 48858 1.69859610 -1.14949566 97.322388 -65.861250
    Unten links KachelX 50484 KachelY + 1 48859 1.69850023 -1.14953486 97.316895 -65.863496
    Unten rechts KachelX + 1 50485 KachelY + 1 48859 1.69859610 -1.14953486 97.322388 -65.863496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14949566--1.14953486) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dl = 249.743200000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14949566--1.14953486) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dr = 249.743200000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69850023-1.69859610) × cos(-1.14949566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408947732279079 × 6371000     		do = 249.78027344529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69850023-1.69859610) × cos(-1.14953486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408911959698827 × 6371000     		du = 249.758423990771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14949566)-sin(-1.14953486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408947732279079-0.408911959698827)×R²
    abs(1.69859610-1.69850023)×3.57725802526132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57725802526132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57725802526132e-05×40589641000000     		ar = 62378.1964184921m²