Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50482 / 49209
↖ ↑ ↗
← S 66.637734°
E 97.305908°		 ← 242.20 m → S 66.637734°
E 97.311401°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
S 66.639912°
E 97.305908°		 ← 242.18 m →
58 650 m²		 S 66.639912°
E 97.311401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770301818847656 y=0.750877380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770301818847656 × 216)
    floor (0.770301818847656 × 65536)
    floor (50482.5)     		tx = 50482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750877380371094 × 216)
    floor (0.750877380371094 × 65536)
    floor (49209.5)     		ty = 49209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50482 / 49209 ti = "16/50482/49209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50482/49209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50482 ÷ 216
    50482 ÷ 65536     		x = 0.770294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49209 ÷ 216
    49209 ÷ 65536     		y = 0.750869750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770294189453125 × 2 - 1) × π
    0.54058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69830848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750869750976562 × 2 - 1) × π
    -0.501739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57626113330669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69830848} λ = 1.69830848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57626113330669))-π/2
    2×atan(0.206746653110879)-π/2
    2×0.203874229897892-π/2
    0.407748459795784-1.57079632675     		φ = -1.16304787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69830848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16304787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.637734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50482 KachelY 49209 1.69830848 -1.16304787 97.305908 -66.637734
    Oben rechts KachelX + 1 50483 KachelY 49209 1.69840435 -1.16304787 97.311401 -66.637734
    Unten links KachelX 50482 KachelY + 1 49210 1.69830848 -1.16308588 97.305908 -66.639912
    Unten rechts KachelX + 1 50483 KachelY + 1 49210 1.69840435 -1.16308588 97.311401 -66.639912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16304787--1.16308588) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dl = 242.161709999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16304787--1.16308588) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dr = 242.161709999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69830848-1.69840435) × cos(-1.16304787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396543382208267 × 6371000     		do = 242.20384812724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69830848-1.69840435) × cos(-1.16308588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396508488134287 × 6371000     		du = 242.182535253607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16304787)-sin(-1.16308588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396543382208267-0.396508488134287)×R²
    abs(1.69840435-1.69830848)×3.48940739807735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48940739807735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48940739807735e-05×40589641000000     		ar = 58649.9174570382m²