Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50481 / 49581
↖ ↑ ↗
← S 67.434906°
E 97.300415°		 ← 234.38 m → S 67.434906°
E 97.305908°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
S 67.437014°
E 97.300415°		 ← 234.36 m →
54 934 m²		 S 67.437014°
E 97.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770286560058594 y=0.756553649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770286560058594 × 216)
    floor (0.770286560058594 × 65536)
    floor (50481.5)     		tx = 50481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756553649902344 × 216)
    floor (0.756553649902344 × 65536)
    floor (49581.5)     		ty = 49581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50481 / 49581 ti = "16/50481/49581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50481/49581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50481 ÷ 216
    50481 ÷ 65536     		x = 0.770278930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49581 ÷ 216
    49581 ÷ 65536     		y = 0.756546020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770278930664062 × 2 - 1) × π
    0.540557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69821261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756546020507812 × 2 - 1) × π
    -0.513092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61192618662401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69821261} λ = 1.69821261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61192618662401))-π/2
    2×atan(0.199502963799643)-π/2
    2×0.196917594777096-π/2
    0.393835189554192-1.57079632675     		φ = -1.17696114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69821261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17696114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.434906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50481 KachelY 49581 1.69821261 -1.17696114 97.300415 -67.434906
    Oben rechts KachelX + 1 50482 KachelY 49581 1.69830848 -1.17696114 97.305908 -67.434906
    Unten links KachelX 50481 KachelY + 1 49582 1.69821261 -1.17699793 97.300415 -67.437014
    Unten rechts KachelX + 1 50482 KachelY + 1 49582 1.69830848 -1.17699793 97.305908 -67.437014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17696114--1.17699793) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dl = 234.389090000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17696114--1.17699793) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dr = 234.389090000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69821261-1.69830848) × cos(-1.17696114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383732809413044 × 6371000     		do = 234.379306937223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69821261-1.69830848) × cos(-1.17699793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383698835642428 × 6371000     		du = 234.35855617363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17696114)-sin(-1.17699793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383732809413044-0.383698835642428)×R²
    abs(1.69830848-1.69821261)×3.39737706164245e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39737706164245e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39737706164245e-05×40589641000000     		ar = 54933.5205979402m²