Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50480 / 49744
↖ ↑ ↗
← S 67.776026°
E 97.294922°		 ← 231.04 m → S 67.776026°
E 97.300415°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 67.778103°
E 97.294922°		 ← 231.02 m →
53 371 m²		 S 67.778103°
E 97.300415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770271301269531 y=0.759040832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770271301269531 × 216)
    floor (0.770271301269531 × 65536)
    floor (50480.5)     		tx = 50480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759040832519531 × 216)
    floor (0.759040832519531 × 65536)
    floor (49744.5)     		ty = 49744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50480 / 49744 ti = "16/50480/49744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50480/49744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50480 ÷ 216
    50480 ÷ 65536     		x = 0.770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49744 ÷ 216
    49744 ÷ 65536     		y = 0.759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770263671875 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69811673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69811673} λ = 1.69811673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62755361590015))-π/2
    2×atan(0.196409479899325)-π/2
    2×0.193940764928947-π/2
    0.387881529857893-1.57079632675     		φ = -1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69811673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50480 KachelY 49744 1.69811673 -1.18291480 97.294922 -67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 50481 KachelY 49744 1.69821261 -1.18291480 97.300415 -67.776026
    Unten links KachelX 50480 KachelY + 1 49745 1.69811673 -1.18295106 97.294922 -67.778103
    Unten rechts KachelX + 1 50481 KachelY + 1 49745 1.69821261 -1.18295106 97.300415 -67.778103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18291480--1.18295106) × R
    3.62599999998992e-05 × 6371000     		dl = 231.012459999357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18291480--1.18295106) × R
    3.62599999998992e-05 × 6371000     		dr = 231.012459999357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69811673-1.69821261) × cos(-1.18291480) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 231.04123644429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69811673-1.69821261) × cos(-1.18295106) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378194601819004 × 6371000     		du = 231.020732248998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18291480)-sin(-1.18295106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378194601819004)×R²
    abs(1.69821261-1.69811673)×3.3566580361577e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.3566580361577e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.3566580361577e-05×40589641000000     		ar = 53371.0360358328m²