Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5048 / 1211
↖ ↑ ↗
← N 77.513624°
E 41.835938°		 ← 1 056.50 m → N 77.513624°
E 41.879883°		 →
↑
1 056.89 m
↓
↑
1 056.89 m
↓
N 77.504119°
E 41.835938°		 ← 1 057.29 m →
1 117 014 m²		 N 77.504119°
E 41.879883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61627197265625 y=0.14788818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61627197265625 × 213)
    floor (0.61627197265625 × 8192)
    floor (5048.5)     		tx = 5048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14788818359375 × 213)
    floor (0.14788818359375 × 8192)
    floor (1211.5)     		ty = 1211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5048 / 1211 ti = "13/5048/1211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5048/1211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5048 ÷ 213
    5048 ÷ 8192     		x = 0.6162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1211 ÷ 213
    1211 ÷ 8192     		y = 0.1478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6162109375 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1478271484375 × 2 - 1) × π
    0.704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21276728646179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73017486} λ = 0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21276728646179))-π/2
    2×atan(9.14097712732801)-π/2
    2×1.4618321407379-π/2
    2.92366428147579-1.57079632675     		φ = 1.35286795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35286795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.513624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5048 KachelY 1211 0.73017486 1.35286795 41.835938 77.513624
    Oben rechts KachelX + 1 5049 KachelY 1211 0.73094185 1.35286795 41.879883 77.513624
    Unten links KachelX 5048 KachelY + 1 1212 0.73017486 1.35270206 41.835938 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 5049 KachelY + 1 1212 0.73094185 1.35270206 41.879883 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35286795-1.35270206) × R
    0.000165890000000113 × 6371000     		dl = 1056.88519000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35286795-1.35270206) × R
    0.000165890000000113 × 6371000     		dr = 1056.88519000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73017486-0.73094185) × cos(1.35286795) × R
    0.000766990000000023 × 0.216207464445656 × 6371000     		do = 1056.49632426164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73017486-0.73094185) × cos(1.35270206) × R
    0.000766990000000023 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 1057.28775684941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35286795)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216207464445656-0.216369427747516)×R²
    abs(0.73094185-0.73017486)×0.000161963301860135×R²
    0.000766990000000023×0.000161963301860135×6371000²
    0.000766990000000023×0.000161963301860135×40589641000000     		ar = 1117013.54765306m²