Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50479 / 49551
↖ ↑ ↗
← S 67.371584°
E 97.289429°		 ← 235 m → S 67.371584°
E 97.294922°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
S 67.373698°
E 97.289429°		 ← 234.98 m →
55 229 m²		 S 67.373698°
E 97.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770256042480469 y=0.756095886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770256042480469 × 216)
    floor (0.770256042480469 × 65536)
    floor (50479.5)     		tx = 50479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756095886230469 × 216)
    floor (0.756095886230469 × 65536)
    floor (49551.5)     		ty = 49551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50479 / 49551 ti = "16/50479/49551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50479/49551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50479 ÷ 216
    50479 ÷ 65536     		x = 0.770248413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49551 ÷ 216
    49551 ÷ 65536     		y = 0.756088256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770248413085938 × 2 - 1) × π
    0.540496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69802086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756088256835938 × 2 - 1) × π
    -0.512176513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6090499726468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69802086} λ = 1.69802086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6090499726468))-π/2
    2×atan(0.200077603009133)-π/2
    2×0.197470177014194-π/2
    0.394940354028388-1.57079632675     		φ = -1.17585597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69802086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17585597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.371584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50479 KachelY 49551 1.69802086 -1.17585597 97.289429 -67.371584
    Oben rechts KachelX + 1 50480 KachelY 49551 1.69811673 -1.17585597 97.294922 -67.371584
    Unten links KachelX 50479 KachelY + 1 49552 1.69802086 -1.17589286 97.289429 -67.373698
    Unten rechts KachelX + 1 50480 KachelY + 1 49552 1.69811673 -1.17589286 97.294922 -67.373698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17585597--1.17589286) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dl = 235.026190000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17585597--1.17589286) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dr = 235.026190000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69802086-1.69811673) × cos(-1.17585597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384753137650438 × 6371000     		do = 235.002510946009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69802086-1.69811673) × cos(-1.17589286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384719087198778 × 6371000     		du = 234.981713346572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17585597)-sin(-1.17589286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384753137650438-0.384719087198778)×R²
    abs(1.69811673-1.69802086)×3.405045166055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.405045166055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.405045166055e-05×40589641000000     		ar = 55229.3008042563m²