Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50478 / 48848
↖ ↑ ↗
← S 65.838776°
E 97.283935°		 ← 250.02 m → S 65.838776°
E 97.289429°		 →
↑
250 m
↓
↑
250 m
↓
S 65.841024°
E 97.283935°		 ← 250 m →
62 503 m²		 S 65.841024°
E 97.289429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770240783691406 y=0.745368957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770240783691406 × 216)
    floor (0.770240783691406 × 65536)
    floor (50478.5)     		tx = 50478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745368957519531 × 216)
    floor (0.745368957519531 × 65536)
    floor (48848.5)     		ty = 48848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50478 / 48848 ti = "16/50478/48848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50478/48848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50478 ÷ 216
    50478 ÷ 65536     		x = 0.770233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48848 ÷ 216
    48848 ÷ 65536     		y = 0.745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770233154296875 × 2 - 1) × π
    0.54046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69792498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.49072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54165069178101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69792498} λ = 1.69792498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54165069178101))-π/2
    2×atan(0.214027516215238)-π/2
    2×0.210846457622829-π/2
    0.421692915245659-1.57079632675     		φ = -1.14910341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69792498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.283935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14910341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.838776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50478 KachelY 48848 1.69792498 -1.14910341 97.283935 -65.838776
    Oben rechts KachelX + 1 50479 KachelY 48848 1.69802086 -1.14910341 97.289429 -65.838776
    Unten links KachelX 50478 KachelY + 1 48849 1.69792498 -1.14914265 97.283935 -65.841024
    Unten rechts KachelX + 1 50479 KachelY + 1 48849 1.69802086 -1.14914265 97.289429 -65.841024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14910341--1.14914265) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dl = 249.998039999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14910341--1.14914265) × R
    3.92399999999959e-05 × 6371000     		dr = 249.998039999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69792498-1.69802086) × cos(-1.14910341) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409305651609581 × 6371000     		do = 250.024963057913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69792498-1.69802086) × cos(-1.14914265) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409269848823332 × 6371000     		du = 250.003092872945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14910341)-sin(-1.14914265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409305651609581-0.409269848823332)×R²
    abs(1.69802086-1.69792498)×3.5802786248873e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5802786248873e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5802786248873e-05×40589641000000     		ar = 62503.0169721837m²