Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50477 / 48851
↖ ↑ ↗
← S 65.845520°
E 97.278442°		 ← 249.93 m → S 65.845520°
E 97.283935°		 →
↑
249.93 m
↓
↑
249.93 m
↓
S 65.847768°
E 97.278442°		 ← 249.91 m →
62 464 m²		 S 65.847768°
E 97.283935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770225524902344 y=0.745414733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770225524902344 × 216)
    floor (0.770225524902344 × 65536)
    floor (50477.5)     		tx = 50477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745414733886719 × 216)
    floor (0.745414733886719 × 65536)
    floor (48851.5)     		ty = 48851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50477 / 48851 ti = "16/50477/48851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50477/48851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50477 ÷ 216
    50477 ÷ 65536     		x = 0.770217895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48851 ÷ 216
    48851 ÷ 65536     		y = 0.745407104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770217895507812 × 2 - 1) × π
    0.540435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69782911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745407104492188 × 2 - 1) × π
    -0.490814208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54193831317873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69782911} λ = 1.69782911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54193831317873))-π/2
    2×atan(0.213965966173852)-π/2
    2×0.210787602814187-π/2
    0.421575205628375-1.57079632675     		φ = -1.14922112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69782911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.278442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14922112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.845520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50477 KachelY 48851 1.69782911 -1.14922112 97.278442 -65.845520
    Oben rechts KachelX + 1 50478 KachelY 48851 1.69792498 -1.14922112 97.283935 -65.845520
    Unten links KachelX 50477 KachelY + 1 48852 1.69782911 -1.14926035 97.278442 -65.847768
    Unten rechts KachelX + 1 50478 KachelY + 1 48852 1.69792498 -1.14926035 97.283935 -65.847768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14922112--1.14926035) × R
    3.92300000000567e-05 × 6371000     		dl = 249.934330000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14922112--1.14926035) × R
    3.92300000000567e-05 × 6371000     		dr = 249.934330000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69782911-1.69792498) × cos(-1.14922112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409198250484791 × 6371000     		do = 249.933286901501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69782911-1.69792498) × cos(-1.14926035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40916245493293 × 6371000     		du = 249.911423416204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14922112)-sin(-1.14926035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409198250484791-0.40916245493293)×R²
    abs(1.69792498-1.69782911)×3.5795551861062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5795551861062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5795551861062e-05×40589641000000     		ar = 62464.1763965922m²