Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50472 / 49064
↖ ↑ ↗
← S 66.319861°
E 97.250976°		 ← 245.34 m → S 66.319861°
E 97.256470°		 →
↑
245.35 m
↓
↑
245.35 m
↓
S 66.322068°
E 97.250976°		 ← 245.31 m →
60 190 m²		 S 66.322068°
E 97.256470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770149230957031 y=0.748664855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770149230957031 × 216)
    floor (0.770149230957031 × 65536)
    floor (50472.5)     		tx = 50472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748664855957031 × 216)
    floor (0.748664855957031 × 65536)
    floor (49064.5)     		ty = 49064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50472 / 49064 ti = "16/50472/49064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50472/49064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50472 ÷ 216
    50472 ÷ 65536     		x = 0.7701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49064 ÷ 216
    49064 ÷ 65536     		y = 0.7486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7701416015625 × 2 - 1) × π
    0.540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69734974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56235943241687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69734974} λ = 1.69734974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56235943241687))-π/2
    2×atan(0.209640853788165)-π/2
    2×0.206648192550903-π/2
    0.413296385101807-1.57079632675     		φ = -1.15749994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69734974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15749994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.319861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50472 KachelY 49064 1.69734974 -1.15749994 97.250976 -66.319861
    Oben rechts KachelX + 1 50473 KachelY 49064 1.69744562 -1.15749994 97.256470 -66.319861
    Unten links KachelX 50472 KachelY + 1 49065 1.69734974 -1.15753845 97.250976 -66.322068
    Unten rechts KachelX + 1 50473 KachelY + 1 49065 1.69744562 -1.15753845 97.256470 -66.322068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15749994--1.15753845) × R
    3.85100000002137e-05 × 6371000     		dl = 245.347210001361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15749994--1.15753845) × R
    3.85100000002137e-05 × 6371000     		dr = 245.347210001361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69734974-1.69744562) × cos(-1.15749994) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.401630341803429 × 6371000     		do = 245.336488703938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69734974-1.69744562) × cos(-1.15753845) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.401595073975538 × 6371000     		du = 245.314945299074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15749994)-sin(-1.15753845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401630341803429-0.401595073975538)×R²
    abs(1.69744562-1.69734974)×3.52678278905949e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.52678278905949e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.52678278905949e-05×40589641000000     		ar = 60189.9802153879m²