Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50470 / 49545
↖ ↑ ↗
← S 67.358900°
E 97.239990°		 ← 235.15 m → S 67.358900°
E 97.245484°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
S 67.361014°
E 97.239990°		 ← 235.13 m →
55 279 m²		 S 67.361014°
E 97.245484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770118713378906 y=0.756004333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770118713378906 × 216)
    floor (0.770118713378906 × 65536)
    floor (50470.5)     		tx = 50470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756004333496094 × 216)
    floor (0.756004333496094 × 65536)
    floor (49545.5)     		ty = 49545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50470 / 49545 ti = "16/50470/49545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50470/49545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50470 ÷ 216
    50470 ÷ 65536     		x = 0.770111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49545 ÷ 216
    49545 ÷ 65536     		y = 0.755996704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770111083984375 × 2 - 1) × π
    0.54022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69715799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755996704101562 × 2 - 1) × π
    -0.511993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60847472985136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69715799} λ = 1.69715799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60847472985136))-π/2
    2×atan(0.200192729318409)-π/2
    2×0.197580869631878-π/2
    0.395161739263756-1.57079632675     		φ = -1.17563459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69715799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17563459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.358900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50470 KachelY 49545 1.69715799 -1.17563459 97.239990 -67.358900
    Oben rechts KachelX + 1 50471 KachelY 49545 1.69725387 -1.17563459 97.245484 -67.358900
    Unten links KachelX 50470 KachelY + 1 49546 1.69715799 -1.17567149 97.239990 -67.361014
    Unten rechts KachelX + 1 50471 KachelY + 1 49546 1.69725387 -1.17567149 97.245484 -67.361014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17563459--1.17567149) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17563459--1.17567149) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69715799-1.69725387) × cos(-1.17563459) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384957466280556 × 6371000     		do = 235.151838014374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69715799-1.69725387) × cos(-1.17567149) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384923409742273 × 6371000     		du = 235.131034527559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17563459)-sin(-1.17567149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384957466280556-0.384923409742273)×R²
    abs(1.69725387-1.69715799)×3.40565382837554e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40565382837554e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40565382837554e-05×40589641000000     		ar = 55279.3767451591m²