Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50469 / 49554
↖ ↑ ↗
← S 67.377924°
E 97.234497°		 ← 234.94 m → S 67.377924°
E 97.239990°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 67.380037°
E 97.234497°		 ← 234.92 m →
55 200 m²		 S 67.380037°
E 97.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770103454589844 y=0.756141662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770103454589844 × 216)
    floor (0.770103454589844 × 65536)
    floor (50469.5)     		tx = 50469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756141662597656 × 216)
    floor (0.756141662597656 × 65536)
    floor (49554.5)     		ty = 49554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50469 / 49554 ti = "16/50469/49554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50469/49554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50469 ÷ 216
    50469 ÷ 65536     		x = 0.770095825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49554 ÷ 216
    49554 ÷ 65536     		y = 0.756134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770095825195312 × 2 - 1) × π
    0.540191650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69706212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60933759404453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69706212} λ = 1.69706212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60933759404453))-π/2
    2×atan(0.200020064684327)-π/2
    2×0.197414852741134-π/2
    0.394829705482267-1.57079632675     		φ = -1.17596662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69706212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.234497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17596662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.377924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50469 KachelY 49554 1.69706212 -1.17596662 97.234497 -67.377924
    Oben rechts KachelX + 1 50470 KachelY 49554 1.69715799 -1.17596662 97.239990 -67.377924
    Unten links KachelX 50469 KachelY + 1 49555 1.69706212 -1.17600350 97.234497 -67.380037
    Unten rechts KachelX + 1 50470 KachelY + 1 49555 1.69715799 -1.17600350 97.239990 -67.380037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17596662--1.17600350) × R
    3.68799999999059e-05 × 6371000     		dl = 234.9624799994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17596662--1.17600350) × R
    3.68799999999059e-05 × 6371000     		dr = 234.9624799994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69706212-1.69715799) × cos(-1.17596662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384651003186084 × 6371000     		do = 234.940128464286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69706212-1.69715799) × cos(-1.17600350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384616960394949 × 6371000     		du = 234.919335543804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17596662)-sin(-1.17600350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384651003186084-0.384616960394949)×R²
    abs(1.69715799-1.69706212)×3.40427911353913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40427911353913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40427911353913e-05×40589641000000     		ar = 55199.6724633792m²