Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50463 / 48924
↖ ↑ ↗
← S 66.009086°
E 97.201538°		 ← 248.34 m → S 66.009086°
E 97.207031°		 →
↑
248.34 m
↓
↑
248.34 m
↓
S 66.011319°
E 97.201538°		 ← 248.32 m →
61 671 m²		 S 66.011319°
E 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770011901855469 y=0.746528625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770011901855469 × 216)
    floor (0.770011901855469 × 65536)
    floor (50463.5)     		tx = 50463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746528625488281 × 216)
    floor (0.746528625488281 × 65536)
    floor (48924.5)     		ty = 48924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50463 / 48924 ti = "16/50463/48924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50463/48924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50463 ÷ 216
    50463 ÷ 65536     		x = 0.770004272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48924 ÷ 216
    48924 ÷ 65536     		y = 0.74652099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770004272460938 × 2 - 1) × π
    0.540008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69648688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4930419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54893710052325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69648688} λ = 1.69648688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54893710052325))-π/2
    2×atan(0.21247369202369)-π/2
    2×0.20936022148557-π/2
    0.41872044297114-1.57079632675     		φ = -1.15207588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69648688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15207588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.009086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50463 KachelY 48924 1.69648688 -1.15207588 97.201538 -66.009086
    Oben rechts KachelX + 1 50464 KachelY 48924 1.69658275 -1.15207588 97.207031 -66.009086
    Unten links KachelX 50463 KachelY + 1 48925 1.69648688 -1.15211486 97.201538 -66.011319
    Unten rechts KachelX + 1 50464 KachelY + 1 48925 1.69658275 -1.15211486 97.207031 -66.011319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15207588--1.15211486) × R
    3.89800000000218e-05 × 6371000     		dl = 248.341580000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15207588--1.15211486) × R
    3.89800000000218e-05 × 6371000     		dr = 248.341580000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69648688-1.69658275) × cos(-1.15207588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406591773694102 × 6371000     		do = 248.34128275496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69648688-1.69658275) × cos(-1.15211486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406556160869602 × 6371000     		du = 248.3195308773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15207588)-sin(-1.15211486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406591773694102-0.406556160869602)×R²
    abs(1.69658275-1.69648688)×3.56128244995979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56128244995979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56128244995979e-05×40589641000000     		ar = 61670.7655984819m²