Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50462 / 49650
↖ ↑ ↗
← S 67.579908°
E 97.196045°		 ← 232.98 m → S 67.579908°
E 97.201538°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 67.582003°
E 97.196045°		 ← 232.95 m →
54 278 m²		 S 67.582003°
E 97.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769996643066406 y=0.757606506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769996643066406 × 216)
    floor (0.769996643066406 × 65536)
    floor (50462.5)     		tx = 50462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757606506347656 × 216)
    floor (0.757606506347656 × 65536)
    floor (49650.5)     		ty = 49650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50462 / 49650 ti = "16/50462/49650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50462/49650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50462 ÷ 216
    50462 ÷ 65536     		x = 0.769989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49650 ÷ 216
    49650 ÷ 65536     		y = 0.757598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769989013671875 × 2 - 1) × π
    0.53997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69639100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.51519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61854147877158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69639100} λ = 1.69639100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61854147877158))-π/2
    2×atan(0.198187549133065)-π/2
    2×0.195652212756654-π/2
    0.391304425513308-1.57079632675     		φ = -1.17949190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69639100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.196045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17949190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.579908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50462 KachelY 49650 1.69639100 -1.17949190 97.196045 -67.579908
    Oben rechts KachelX + 1 50463 KachelY 49650 1.69648688 -1.17949190 97.201538 -67.579908
    Unten links KachelX 50462 KachelY + 1 49651 1.69639100 -1.17952847 97.196045 -67.582003
    Unten rechts KachelX + 1 50463 KachelY + 1 49651 1.69648688 -1.17952847 97.201538 -67.582003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17949190--1.17952847) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17949190--1.17952847) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69639100-1.69648688) × cos(-1.17949190) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381394567490729 × 6371000     		do = 232.975436015519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69639100-1.69648688) × cos(-1.17952847) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381360761476242 × 6371000     		du = 232.954785561536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17949190)-sin(-1.17952847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381394567490729-0.381360761476242)×R²
    abs(1.69648688-1.69639100)×3.38060144868813e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.38060144868813e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.38060144868813e-05×40589641000000     		ar = 54277.9517669787m²