Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50462 / 49470
↖ ↑ ↗
← S 67.199776°
E 97.196045°		 ← 236.72 m → S 67.199776°
E 97.201538°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
S 67.201904°
E 97.196045°		 ← 236.70 m →
56 024 m²		 S 67.201904°
E 97.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769996643066406 y=0.754859924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769996643066406 × 216)
    floor (0.769996643066406 × 65536)
    floor (50462.5)     		tx = 50462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754859924316406 × 216)
    floor (0.754859924316406 × 65536)
    floor (49470.5)     		ty = 49470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50462 / 49470 ti = "16/50462/49470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50462/49470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50462 ÷ 216
    50462 ÷ 65536     		x = 0.769989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49470 ÷ 216
    49470 ÷ 65536     		y = 0.754852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769989013671875 × 2 - 1) × π
    0.53997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69639100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.50970458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60128419490836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69639100} λ = 1.69639100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60128419490836))-π/2
    2×atan(0.201637409922475)-π/2
    2×0.198969495556402-π/2
    0.397938991112803-1.57079632675     		φ = -1.17285734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69639100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.196045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17285734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.199776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50462 KachelY 49470 1.69639100 -1.17285734 97.196045 -67.199776
    Oben rechts KachelX + 1 50463 KachelY 49470 1.69648688 -1.17285734 97.201538 -67.199776
    Unten links KachelX 50462 KachelY + 1 49471 1.69639100 -1.17289449 97.196045 -67.201904
    Unten rechts KachelX + 1 50463 KachelY + 1 49471 1.69648688 -1.17289449 97.201538 -67.201904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17285734--1.17289449) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17285734--1.17289449) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69639100-1.69648688) × cos(-1.17285734) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.387519197700703 × 6371000     		do = 236.716675443732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69639100-1.69648688) × cos(-1.17289449) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.387484950273612 × 6371000     		du = 236.695755352207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17285734)-sin(-1.17289449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387519197700703-0.387484950273612)×R²
    abs(1.69648688-1.69639100)×3.42474270905724e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.42474270905724e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.42474270905724e-05×40589641000000     		ar = 56024.2543384169m²