Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50461 / 49479
↖ ↑ ↗
← S 67.218926°
E 97.190552°		 ← 236.50 m → S 67.218926°
E 97.196045°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 67.221053°
E 97.190552°		 ← 236.48 m →
55 929 m²		 S 67.221053°
E 97.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769981384277344 y=0.754997253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769981384277344 × 216)
    floor (0.769981384277344 × 65536)
    floor (50461.5)     		tx = 50461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754997253417969 × 216)
    floor (0.754997253417969 × 65536)
    floor (49479.5)     		ty = 49479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50461 / 49479 ti = "16/50461/49479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50461/49479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50461 ÷ 216
    50461 ÷ 65536     		x = 0.769973754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49479 ÷ 216
    49479 ÷ 65536     		y = 0.754989624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769973754882812 × 2 - 1) × π
    0.539947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69629513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754989624023438 × 2 - 1) × π
    -0.509979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60214705910152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69629513} λ = 1.69629513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60214705910152))-π/2
    2×atan(0.201463499262881)-π/2
    2×0.198802373814456-π/2
    0.397604747628912-1.57079632675     		φ = -1.17319158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69629513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.190552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17319158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.218926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50461 KachelY 49479 1.69629513 -1.17319158 97.190552 -67.218926
    Oben rechts KachelX + 1 50462 KachelY 49479 1.69639100 -1.17319158 97.196045 -67.218926
    Unten links KachelX 50461 KachelY + 1 49480 1.69629513 -1.17322870 97.190552 -67.221053
    Unten rechts KachelX + 1 50462 KachelY + 1 49480 1.69639100 -1.17322870 97.196045 -67.221053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17319158--1.17322870) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17319158--1.17322870) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69629513-1.69639100) × cos(-1.17319158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387211053027921 × 6371000     		do = 236.503775598271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69629513-1.69639100) × cos(-1.17322870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387176828451289 × 6371000     		du = 236.48287164543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17319158)-sin(-1.17322870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387211053027921-0.387176828451289)×R²
    abs(1.69639100-1.69629513)×3.42245766323246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42245766323246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42245766323246e-05×40589641000000     		ar = 55928.6655795227m²