Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5046 / 1210
↖ ↑ ↗
← N 77.523122°
E 41.748047°		 ← 1 055.71 m → N 77.523122°
E 41.791992°		 →
↑
1 056.12 m
↓
↑
1 056.12 m
↓
N 77.513624°
E 41.748047°		 ← 1 056.50 m →
1 115 370 m²		 N 77.513624°
E 41.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61602783203125 y=0.14776611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61602783203125 × 213)
    floor (0.61602783203125 × 8192)
    floor (5046.5)     		tx = 5046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14776611328125 × 213)
    floor (0.14776611328125 × 8192)
    floor (1210.5)     		ty = 1210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5046 / 1210 ti = "13/5046/1210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5046/1210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5046 ÷ 213
    5046 ÷ 8192     		x = 0.615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1210 ÷ 213
    1210 ÷ 8192     		y = 0.147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615966796875 × 2 - 1) × π
    0.23193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72864087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147705078125 × 2 - 1) × π
    0.70458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21353427685571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72864087} λ = 0.72864087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21353427685571))-π/2
    2×atan(9.14799085836406)-π/2
    2×1.46191502422244-π/2
    2.92383004844488-1.57079632675     		φ = 1.35303372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72864087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35303372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.523122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5046 KachelY 1210 0.72864087 1.35303372 41.748047 77.523122
    Oben rechts KachelX + 1 5047 KachelY 1210 0.72940786 1.35303372 41.791992 77.523122
    Unten links KachelX 5046 KachelY + 1 1211 0.72864087 1.35286795 41.748047 77.513624
    Unten rechts KachelX + 1 5047 KachelY + 1 1211 0.72940786 1.35286795 41.791992 77.513624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35303372-1.35286795) × R
    0.000165769999999954 × 6371000     		dl = 1056.12066999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35303372-1.35286795) × R
    0.000165769999999954 × 6371000     		dr = 1056.12066999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72864087-0.72940786) × cos(1.35303372) × R
    0.000766990000000023 × 0.21604561235987 × 6371000     		do = 1055.70543513048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72864087-0.72940786) × cos(1.35286795) × R
    0.000766990000000023 × 0.216207464445656 × 6371000     		du = 1056.49632426164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35303372)-sin(1.35286795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21604561235987-0.216207464445656)×R²
    abs(0.72940786-0.72864087)×0.000161852085785424×R²
    0.000766990000000023×0.000161852085785424×6371000²
    0.000766990000000023×0.000161852085785424×40589641000000     		ar = 1115369.97120721m²