Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50458 / 49648
↖ ↑ ↗
← S 67.575717°
E 97.174072°		 ← 232.99 m → S 67.575717°
E 97.179565°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 67.577813°
E 97.174072°		 ← 232.97 m →
54 282 m²		 S 67.577813°
E 97.179565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769935607910156 y=0.757575988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769935607910156 × 216)
    floor (0.769935607910156 × 65536)
    floor (50458.5)     		tx = 50458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757575988769531 × 216)
    floor (0.757575988769531 × 65536)
    floor (49648.5)     		ty = 49648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50458 / 49648 ti = "16/50458/49648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50458/49648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50458 ÷ 216
    50458 ÷ 65536     		x = 0.769927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49648 ÷ 216
    49648 ÷ 65536     		y = 0.757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769927978515625 × 2 - 1) × π
    0.53985595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69600751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.51513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69600751} λ = 1.69600751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6183497311731))-π/2
    2×atan(0.198225554763287)-π/2
    2×0.195688781743604-π/2
    0.391377563487207-1.57079632675     		φ = -1.17941876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69600751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.174072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17941876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.575717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50458 KachelY 49648 1.69600751 -1.17941876 97.174072 -67.575717
    Oben rechts KachelX + 1 50459 KachelY 49648 1.69610338 -1.17941876 97.179565 -67.575717
    Unten links KachelX 50458 KachelY + 1 49649 1.69600751 -1.17945533 97.174072 -67.577813
    Unten rechts KachelX + 1 50459 KachelY + 1 49649 1.69610338 -1.17945533 97.179565 -67.577813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17941876--1.17945533) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17941876--1.17945533) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69600751-1.69610338) × cos(-1.17941876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381462177989466 × 6371000     		do = 232.992433033524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69600751-1.69610338) × cos(-1.17945533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381428372995152 × 6371000     		du = 232.971785356432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17941876)-sin(-1.17945533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381462177989466-0.381428372995152)×R²
    abs(1.69610338-1.69600751)×3.38049943143237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38049943143237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38049943143237e-05×40589641000000     		ar = 54281.912182803m²