Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50457 / 58335
↖ ↑ ↗
← N 19.396659°
W 41.415710°		 ← 288.09 m → N 19.396659°
W 41.412964°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.394068°
W 41.415710°		 ← 288.09 m →
82 999 m²		 N 19.394068°
W 41.412964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384960174560547 y=0.445064544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384960174560547 × 217)
    floor (0.384960174560547 × 131072)
    floor (50457.5)     		tx = 50457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445064544677734 × 217)
    floor (0.445064544677734 × 131072)
    floor (58335.5)     		ty = 58335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50457 / 58335 ti = "17/50457/58335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50457/58335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50457 ÷ 217
    50457 ÷ 131072     		x = 0.384956359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58335 ÷ 217
    58335 ÷ 131072     		y = 0.445060729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384956359863281 × 2 - 1) × π
    -0.230087280273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.72284051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445060729980469 × 2 - 1) × π
    0.109878540039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.345193614164024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72284051} λ = -0.72284051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345193614164024))-π/2
    2×atan(1.41226332738252)-π/2
    2×0.954665941686943-π/2
    1.90933188337389-1.57079632675     		φ = 0.33853556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72284051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.415710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33853556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.396659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50457 KachelY 58335 -0.72284051 0.33853556 -41.415710 19.396659
    Oben rechts KachelX + 1 50458 KachelY 58335 -0.72279257 0.33853556 -41.412964 19.396659
    Unten links KachelX 50457 KachelY + 1 58336 -0.72284051 0.33849034 -41.415710 19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 50458 KachelY + 1 58336 -0.72279257 0.33849034 -41.412964 19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33853556-0.33849034) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33853556-0.33849034) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72284051--0.72279257) × cos(0.33853556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943242026282655 × 6371000     		do = 288.090393876957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72284051--0.72279257) × cos(0.33849034) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 288.09498041702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33853556)-sin(0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943242026282655-0.943257043157337)×R²
    abs(-0.72279257--0.72284051)×1.50168746821944e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50168746821944e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50168746821944e-05×40589641000000     		ar = 82998.529427965m²