Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50457 / 49468
↖ ↑ ↗
← S 67.195517°
E 97.168579°		 ← 236.76 m → S 67.195517°
E 97.174072°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
S 67.197646°
E 97.168579°		 ← 236.74 m →
56 049 m²		 S 67.197646°
E 97.174072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769920349121094 y=0.754829406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769920349121094 × 216)
    floor (0.769920349121094 × 65536)
    floor (50457.5)     		tx = 50457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754829406738281 × 216)
    floor (0.754829406738281 × 65536)
    floor (49468.5)     		ty = 49468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50457 / 49468 ti = "16/50457/49468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50457/49468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50457 ÷ 216
    50457 ÷ 65536     		x = 0.769912719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49468 ÷ 216
    49468 ÷ 65536     		y = 0.75482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769912719726562 × 2 - 1) × π
    0.539825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69591163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.5096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60109244730988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69591163} λ = 1.69591163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60109244730988))-π/2
    2×atan(0.201676077118643)-π/2
    2×0.199006651778369-π/2
    0.398013303556739-1.57079632675     		φ = -1.17278302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69591163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.168579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17278302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.195517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50457 KachelY 49468 1.69591163 -1.17278302 97.168579 -67.195517
    Oben rechts KachelX + 1 50458 KachelY 49468 1.69600751 -1.17278302 97.174072 -67.195517
    Unten links KachelX 50457 KachelY + 1 49469 1.69591163 -1.17282018 97.168579 -67.197646
    Unten rechts KachelX + 1 50458 KachelY + 1 49469 1.69600751 -1.17282018 97.174072 -67.197646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17278302--1.17282018) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17278302--1.17282018) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69591163-1.69600751) × cos(-1.17278302) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.387587709387021 × 6371000     		do = 236.758525909265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69591163-1.69600751) × cos(-1.17282018) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.387553453811441 × 6371000     		du = 236.737600840224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17278302)-sin(-1.17282018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387587709387021-0.387553453811441)×R²
    abs(1.69600751-1.69591163)×3.42555755796781e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.42555755796781e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.42555755796781e-05×40589641000000     		ar = 56049.2422470762m²