Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50456 / 49448
↖ ↑ ↗
← S 67.152898°
E 97.163086°		 ← 237.15 m → S 67.152898°
E 97.168579°		 →
↑
237.13 m
↓
↑
237.13 m
↓
S 67.155031°
E 97.163086°		 ← 237.13 m →
56 233 m²		 S 67.155031°
E 97.168579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769905090332031 y=0.754524230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769905090332031 × 216)
    floor (0.769905090332031 × 65536)
    floor (50456.5)     		tx = 50456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754524230957031 × 216)
    floor (0.754524230957031 × 65536)
    floor (49448.5)     		ty = 49448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50456 / 49448 ti = "16/50456/49448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50456/49448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50456 ÷ 216
    50456 ÷ 65536     		x = 0.7698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49448 ÷ 216
    49448 ÷ 65536     		y = 0.7545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7698974609375 × 2 - 1) × π
    0.539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69581576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69581576} λ = 1.69581576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59917497132507))-π/2
    2×atan(0.202063157142954)-π/2
    2×0.199378575411474-π/2
    0.398757150822948-1.57079632675     		φ = -1.17203918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69581576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17203918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.152898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50456 KachelY 49448 1.69581576 -1.17203918 97.163086 -67.152898
    Oben rechts KachelX + 1 50457 KachelY 49448 1.69591163 -1.17203918 97.168579 -67.152898
    Unten links KachelX 50456 KachelY + 1 49449 1.69581576 -1.17207640 97.163086 -67.155031
    Unten rechts KachelX + 1 50457 KachelY + 1 49449 1.69591163 -1.17207640 97.168579 -67.155031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17203918--1.17207640) × R
    3.72199999998379e-05 × 6371000     		dl = 237.128619998968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17203918--1.17207640) × R
    3.72199999998379e-05 × 6371000     		dr = 237.128619998968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69581576-1.69591163) × cos(-1.17203918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388273298230749 × 6371000     		do = 237.152581976899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69581576-1.69591163) × cos(-1.17207640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388238998083998 × 6371000     		du = 237.131631866754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17203918)-sin(-1.17207640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388273298230749-0.388238998083998)×R²
    abs(1.69591163-1.69581576)×3.43001467514314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43001467514314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43001467514314e-05×40589641000000     		ar = 56233.1805644405m²