Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50454 / 49421
↖ ↑ ↗
← S 67.095242°
E 97.152099°		 ← 237.74 m → S 67.095242°
E 97.157593°		 →
↑
237.77 m
↓
↑
237.77 m
↓
S 67.097381°
E 97.152099°		 ← 237.72 m →
56 525 m²		 S 67.097381°
E 97.157593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769874572753906 y=0.754112243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769874572753906 × 216)
    floor (0.769874572753906 × 65536)
    floor (50454.5)     		tx = 50454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754112243652344 × 216)
    floor (0.754112243652344 × 65536)
    floor (49421.5)     		ty = 49421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50454 / 49421 ti = "16/50454/49421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50454/49421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50454 ÷ 216
    50454 ÷ 65536     		x = 0.769866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49421 ÷ 216
    49421 ÷ 65536     		y = 0.754104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769866943359375 × 2 - 1) × π
    0.53973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69562401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.508209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59658637874559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69562401} λ = 1.69562401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59658637874559))-π/2
    2×atan(0.202586893910221)-π/2
    2×0.199881715903716-π/2
    0.399763431807432-1.57079632675     		φ = -1.17103289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69562401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.152099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17103289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.095242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50454 KachelY 49421 1.69562401 -1.17103289 97.152099 -67.095242
    Oben rechts KachelX + 1 50455 KachelY 49421 1.69571989 -1.17103289 97.157593 -67.095242
    Unten links KachelX 50454 KachelY + 1 49422 1.69562401 -1.17107021 97.152099 -67.097381
    Unten rechts KachelX + 1 50455 KachelY + 1 49422 1.69571989 -1.17107021 97.157593 -67.097381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17103289--1.17107021) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dl = 237.765719999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17103289--1.17107021) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dr = 237.765719999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69562401-1.69571989) × cos(-1.17103289) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.389200442273502 × 6371000     		do = 237.743666179267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69562401-1.69571989) × cos(-1.17107021) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.389166064569145 × 6371000     		du = 237.722666507682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17103289)-sin(-1.17107021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389200442273502-0.389166064569145)×R²
    abs(1.69571989-1.69562401)×3.4377704356936e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4377704356936e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4377704356936e-05×40589641000000     		ar = 56524.7974697138m²