Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50450 / 49194
↖ ↑ ↗
← S 66.605038°
E 97.130127°		 ← 242.52 m → S 66.605038°
E 97.135620°		 →
↑
242.54 m
↓
↑
242.54 m
↓
S 66.607220°
E 97.130127°		 ← 242.50 m →
58 820 m²		 S 66.607220°
E 97.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769813537597656 y=0.750648498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769813537597656 × 216)
    floor (0.769813537597656 × 65536)
    floor (50450.5)     		tx = 50450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750648498535156 × 216)
    floor (0.750648498535156 × 65536)
    floor (49194.5)     		ty = 49194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50450 / 49194 ti = "16/50450/49194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50450/49194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50450 ÷ 216
    50450 ÷ 65536     		x = 0.769805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49194 ÷ 216
    49194 ÷ 65536     		y = 0.750640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769805908203125 × 2 - 1) × π
    0.53961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69524052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.50128173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57482302631808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69524052} λ = 1.69524052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57482302631808))-π/2
    2×atan(0.207044190811832)-π/2
    2×0.204159554090821-π/2
    0.408319108181643-1.57079632675     		φ = -1.16247722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69524052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16247722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50450 KachelY 49194 1.69524052 -1.16247722 97.130127 -66.605038
    Oben rechts KachelX + 1 50451 KachelY 49194 1.69533639 -1.16247722 97.135620 -66.605038
    Unten links KachelX 50450 KachelY + 1 49195 1.69524052 -1.16251529 97.130127 -66.607220
    Unten rechts KachelX + 1 50451 KachelY + 1 49195 1.69533639 -1.16251529 97.135620 -66.607220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16247722--1.16251529) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dl = 242.543970000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16247722--1.16251529) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dr = 242.543970000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69524052-1.69533639) × cos(-1.16247722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397067183435366 × 6371000     		do = 242.523779510663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69524052-1.69533639) × cos(-1.16251529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397032242899596 × 6371000     		du = 242.502438258737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16247722)-sin(-1.16251529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397067183435366-0.397032242899596)×R²
    abs(1.69533639-1.69524052)×3.49405357700783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49405357700783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49405357700783e-05×40589641000000     		ar = 58820.0922132587m²