Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5045 / 8884
↖ ↑ ↗
← N 63.292939°
W124.573975°		 ← 549.04 m → N 63.292939°
W124.562988°		 →
↑
549.05 m
↓
↑
549.05 m
↓
N 63.288001°
W124.573975°		 ← 549.13 m →
301 478 m²		 N 63.288001°
W124.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153976440429688 y=0.271133422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153976440429688 × 215)
    floor (0.153976440429688 × 32768)
    floor (5045.5)     		tx = 5045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271133422851562 × 215)
    floor (0.271133422851562 × 32768)
    floor (8884.5)     		ty = 8884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5045 / 8884 ti = "15/5045/8884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5045/8884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5045 ÷ 215
    5045 ÷ 32768     		x = 0.153961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8884 ÷ 215
    8884 ÷ 32768     		y = 0.2711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.69207763671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.17422602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2711181640625 × 2 - 1) × π
    0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17422602} λ = -2.17422602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43810698860168))-π/2
    2×atan(4.21271354935167)-π/2
    2×1.33773325492141-π/2
    2.67546650984282-1.57079632675     		φ = 1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17422602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.573975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5045 KachelY 8884 -2.17422602 1.10467018 -124.573975 63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 5046 KachelY 8884 -2.17403427 1.10467018 -124.562988 63.292939
    Unten links KachelX 5045 KachelY + 1 8885 -2.17422602 1.10458400 -124.573975 63.288001
    Unten rechts KachelX + 1 5046 KachelY + 1 8885 -2.17403427 1.10458400 -124.562988 63.288001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10467018-1.10458400) × R
    8.61800000000468e-05 × 6371000     		dl = 549.052780000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10467018-1.10458400) × R
    8.61800000000468e-05 × 6371000     		dr = 549.052780000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17422602--2.17403427) × cos(1.10467018) × R
    0.000191749999999935 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 549.040217874499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17422602--2.17403427) × cos(1.10458400) × R
    0.000191749999999935 × 0.449506075482456 × 6371000     		du = 549.134264922645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10467018)-sin(1.10458400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449506075482456)×R²
    abs(-2.17403427--2.17422602)×7.69843046103946e-05×R²
    0.000191749999999935×7.69843046103946e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.69843046103946e-05×40589641000000     		ar = 301477.87653956m²