Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50448 / 49520
↖ ↑ ↗
← S 67.305976°
E 97.119141°		 ← 235.65 m → S 67.305976°
E 97.124634°		 →
↑
235.66 m
↓
↑
235.66 m
↓
S 67.308095°
E 97.119141°		 ← 235.63 m →
55 531 m²		 S 67.308095°
E 97.124634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769783020019531 y=0.755622863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769783020019531 × 216)
    floor (0.769783020019531 × 65536)
    floor (50448.5)     		tx = 50448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755622863769531 × 216)
    floor (0.755622863769531 × 65536)
    floor (49520.5)     		ty = 49520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50448 / 49520 ti = "16/50448/49520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50448/49520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50448 ÷ 216
    50448 ÷ 65536     		x = 0.769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49520 ÷ 216
    49520 ÷ 65536     		y = 0.755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69504877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69504877} λ = 1.69504877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60607788487036))-π/2
    2×atan(0.2006731357568)-π/2
    2×0.198042721904921-π/2
    0.396085443809842-1.57079632675     		φ = -1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69504877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50448 KachelY 49520 1.69504877 -1.17471088 97.119141 -67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 50449 KachelY 49520 1.69514464 -1.17471088 97.124634 -67.305976
    Unten links KachelX 50448 KachelY + 1 49521 1.69504877 -1.17474787 97.119141 -67.308095
    Unten rechts KachelX + 1 50449 KachelY + 1 49521 1.69514464 -1.17474787 97.124634 -67.308095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17471088--1.17474787) × R
    3.69900000001255e-05 × 6371000     		dl = 235.6632900008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17471088--1.17474787) × R
    3.69900000001255e-05 × 6371000     		dr = 235.6632900008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69504877-1.69514464) × cos(-1.17471088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 235.64792301286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69504877-1.69514464) × cos(-1.17474787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385775699148098 × 6371000     		du = 235.627079002853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17471088)-sin(-1.17474787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.385775699148098)×R²
    abs(1.69514464-1.69504877)×3.41264364332461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41264364332461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41264364332461e-05×40589641000000     		ar = 55531.1087413762m²