Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50447 / 49323
↖ ↑ ↗
← S 66.884815°
E 97.113648°		 ← 239.78 m → S 66.884815°
E 97.119141°		 →
↑
239.80 m
↓
↑
239.80 m
↓
S 66.886972°
E 97.113648°		 ← 239.76 m →
57 499 m²		 S 66.886972°
E 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769767761230469 y=0.752616882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769767761230469 × 216)
    floor (0.769767761230469 × 65536)
    floor (50447.5)     		tx = 50447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752616882324219 × 216)
    floor (0.752616882324219 × 65536)
    floor (49323.5)     		ty = 49323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50447 / 49323 ti = "16/50447/49323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50447/49323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50447 ÷ 216
    50447 ÷ 65536     		x = 0.769760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49323 ÷ 216
    49323 ÷ 65536     		y = 0.752609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769760131835938 × 2 - 1) × π
    0.539520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69495290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.505218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58719074642006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69495290} λ = 1.69495290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58719074642006))-π/2
    2×atan(0.204499295923913)-π/2
    2×0.201718038965257-π/2
    0.403436077930514-1.57079632675     		φ = -1.16736025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69495290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.113648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16736025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.884815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50447 KachelY 49323 1.69495290 -1.16736025 97.113648 -66.884815
    Oben rechts KachelX + 1 50448 KachelY 49323 1.69504877 -1.16736025 97.119141 -66.884815
    Unten links KachelX 50447 KachelY + 1 49324 1.69495290 -1.16739789 97.113648 -66.886972
    Unten rechts KachelX + 1 50448 KachelY + 1 49324 1.69504877 -1.16739789 97.119141 -66.886972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16736025--1.16739789) × R
    3.76399999999499e-05 × 6371000     		dl = 239.804439999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16736025--1.16739789) × R
    3.76399999999499e-05 × 6371000     		dr = 239.804439999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69495290-1.69504877) × cos(-1.16736025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392580873533499 × 6371000     		do = 239.783596290173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69495290-1.69504877) × cos(-1.16739789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392546255089161 × 6371000     		du = 239.762451767754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16736025)-sin(-1.16739789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392580873533499-0.392546255089161)×R²
    abs(1.69504877-1.69495290)×3.46184443384967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46184443384967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46184443384967e-05×40589641000000     		ar = 57498.6357610569m²