Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50446 / 49330
↖ ↑ ↗
← S 66.899907°
E 97.108154°		 ← 239.66 m → S 66.899907°
E 97.113648°		 →
↑
239.61 m
↓
↑
239.61 m
↓
S 66.902062°
E 97.108154°		 ← 239.64 m →
57 423 m²		 S 66.902062°
E 97.113648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769752502441406 y=0.752723693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769752502441406 × 216)
    floor (0.769752502441406 × 65536)
    floor (50446.5)     		tx = 50446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752723693847656 × 216)
    floor (0.752723693847656 × 65536)
    floor (49330.5)     		ty = 49330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50446 / 49330 ti = "16/50446/49330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50446/49330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50446 ÷ 216
    50446 ÷ 65536     		x = 0.769744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49330 ÷ 216
    49330 ÷ 65536     		y = 0.752716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769744873046875 × 2 - 1) × π
    0.53948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69485702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.50543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58786186301474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69485702} λ = 1.69485702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58786186301474))-π/2
    2×atan(0.204362099095501)-π/2
    2×0.201586345844097-π/2
    0.403172691688194-1.57079632675     		φ = -1.16762364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69485702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.108154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16762364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.899907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50446 KachelY 49330 1.69485702 -1.16762364 97.108154 -66.899907
    Oben rechts KachelX + 1 50447 KachelY 49330 1.69495290 -1.16762364 97.113648 -66.899907
    Unten links KachelX 50446 KachelY + 1 49331 1.69485702 -1.16766125 97.108154 -66.902062
    Unten rechts KachelX + 1 50447 KachelY + 1 49331 1.69495290 -1.16766125 97.113648 -66.902062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16762364--1.16766125) × R
    3.76100000001323e-05 × 6371000     		dl = 239.613310000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16762364--1.16766125) × R
    3.76100000001323e-05 × 6371000     		dr = 239.613310000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69485702-1.69495290) × cos(-1.16762364) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.392338615529625 × 6371000     		do = 239.660623957821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69485702-1.69495290) × cos(-1.16766125) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.392304020789681 × 6371000     		du = 239.639491709725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16762364)-sin(-1.16766125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392338615529625-0.392304020789681)×R²
    abs(1.69495290-1.69485702)×3.45947399442159e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.45947399442159e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.45947399442159e-05×40589641000000     		ar = 57423.3436062418m²