Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50445 / 49146
↖ ↑ ↗
← S 66.500121°
E 97.102661°		 ← 243.55 m → S 66.500121°
E 97.108154°		 →
↑
243.56 m
↓
↑
243.56 m
↓
S 66.502312°
E 97.102661°		 ← 243.53 m →
59 317 m²		 S 66.502312°
E 97.108154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769737243652344 y=0.749916076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769737243652344 × 216)
    floor (0.769737243652344 × 65536)
    floor (50445.5)     		tx = 50445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749916076660156 × 216)
    floor (0.749916076660156 × 65536)
    floor (49146.5)     		ty = 49146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50445 / 49146 ti = "16/50445/49146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50445/49146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50445 ÷ 216
    50445 ÷ 65536     		x = 0.769729614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49146 ÷ 216
    49146 ÷ 65536     		y = 0.749908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769729614257812 × 2 - 1) × π
    0.539459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69476115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.49981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57022108395456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69476115} λ = 1.69476115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57022108395456))-π/2
    2×atan(0.207999191989431)-π/2
    2×0.205075125880129-π/2
    0.410150251760258-1.57079632675     		φ = -1.16064607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69476115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.102661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16064607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.500121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50445 KachelY 49146 1.69476115 -1.16064607 97.102661 -66.500121
    Oben rechts KachelX + 1 50446 KachelY 49146 1.69485702 -1.16064607 97.108154 -66.500121
    Unten links KachelX 50445 KachelY + 1 49147 1.69476115 -1.16068430 97.102661 -66.502312
    Unten rechts KachelX + 1 50446 KachelY + 1 49147 1.69485702 -1.16068430 97.108154 -66.502312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16064607--1.16068430) × R
    3.82299999999169e-05 × 6371000     		dl = 243.563329999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16064607--1.16068430) × R
    3.82299999999169e-05 × 6371000     		dr = 243.563329999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69476115-1.69485702) × cos(-1.16064607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398747127119551 × 6371000     		do = 243.549868567252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69476115-1.69485702) × cos(-1.16068430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398712067589247 × 6371000     		du = 243.52845463492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16064607)-sin(-1.16068430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398747127119551-0.398712067589247)×R²
    abs(1.69485702-1.69476115)×3.5059530304471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5059530304471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5059530304471e-05×40589641000000     		ar = 59317.2091921091m²