Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50443 / 49496
↖ ↑ ↗
← S 67.255058°
E 97.091675°		 ← 236.17 m → S 67.255058°
E 97.097168°		 →
↑
236.17 m
↓
↑
236.17 m
↓
S 67.257182°
E 97.091675°		 ← 236.15 m →
55 775 m²		 S 67.257182°
E 97.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769706726074219 y=0.755256652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769706726074219 × 216)
    floor (0.769706726074219 × 65536)
    floor (50443.5)     		tx = 50443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755256652832031 × 216)
    floor (0.755256652832031 × 65536)
    floor (49496.5)     		ty = 49496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50443 / 49496 ti = "16/50443/49496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50443/49496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50443 ÷ 216
    50443 ÷ 65536     		x = 0.769699096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49496 ÷ 216
    49496 ÷ 65536     		y = 0.7552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769699096679688 × 2 - 1) × π
    0.539398193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69456940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6037769136886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69456940} λ = 1.69456940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6037769136886))-π/2
    2×atan(0.201135410495598)-π/2
    2×0.198487061949986-π/2
    0.396974123899972-1.57079632675     		φ = -1.17382220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69456940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.091675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17382220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.255058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50443 KachelY 49496 1.69456940 -1.17382220 97.091675 -67.255058
    Oben rechts KachelX + 1 50444 KachelY 49496 1.69466528 -1.17382220 97.097168 -67.255058
    Unten links KachelX 50443 KachelY + 1 49497 1.69456940 -1.17385927 97.091675 -67.257182
    Unten rechts KachelX + 1 50444 KachelY + 1 49497 1.69466528 -1.17385927 97.097168 -67.257182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17382220--1.17385927) × R
    3.70699999998614e-05 × 6371000     		dl = 236.172969999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17382220--1.17385927) × R
    3.70699999998614e-05 × 6371000     		dr = 236.172969999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69456940-1.69466528) × cos(-1.17382220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386629550041545 × 6371000     		do = 236.173232854457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69456940-1.69466528) × cos(-1.17385927) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386595362520517 × 6371000     		du = 236.15234935664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17382220)-sin(-1.17385927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386629550041545-0.386595362520517)×R²
    abs(1.69466528-1.69456940)×3.41875210276288e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41875210276288e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41875210276288e-05×40589641000000     		ar = 55775.2677848385m²