Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50442 / 49642
↖ ↑ ↗
← S 67.563141°
E 97.086182°		 ← 233.12 m → S 67.563141°
E 97.091675°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
S 67.565238°
E 97.086182°		 ← 233.10 m →
54 340 m²		 S 67.565238°
E 97.091675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769691467285156 y=0.757484436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769691467285156 × 216)
    floor (0.769691467285156 × 65536)
    floor (50442.5)     		tx = 50442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757484436035156 × 216)
    floor (0.757484436035156 × 65536)
    floor (49642.5)     		ty = 49642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50442 / 49642 ti = "16/50442/49642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50442/49642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50442 ÷ 216
    50442 ÷ 65536     		x = 0.769683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49642 ÷ 216
    49642 ÷ 65536     		y = 0.757476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769683837890625 × 2 - 1) × π
    0.53936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69447353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.51495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61777448837766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69447353} λ = 1.69447353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61777448837766))-π/2
    2×atan(0.198339615388668)-π/2
    2×0.195798527602501-π/2
    0.391597055205003-1.57079632675     		φ = -1.17919927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69447353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.086182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17919927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.563141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50442 KachelY 49642 1.69447353 -1.17919927 97.086182 -67.563141
    Oben rechts KachelX + 1 50443 KachelY 49642 1.69456940 -1.17919927 97.091675 -67.563141
    Unten links KachelX 50442 KachelY + 1 49643 1.69447353 -1.17923586 97.086182 -67.565238
    Unten rechts KachelX + 1 50443 KachelY + 1 49643 1.69456940 -1.17923586 97.091675 -67.565238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17919927--1.17923586) × R
    3.6589999999892e-05 × 6371000     		dl = 233.114889999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17919927--1.17923586) × R
    3.6589999999892e-05 × 6371000     		dr = 233.114889999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69447353-1.69456940) × cos(-1.17919927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381665061941582 × 6371000     		do = 233.116352070206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69447353-1.69456940) × cos(-1.17923586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381631241523555 × 6371000     		du = 233.095694972498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17919927)-sin(-1.17923586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381665061941582-0.381631241523555)×R²
    abs(1.69456940-1.69447353)×3.38204180274637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38204180274637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38204180274637e-05×40589641000000     		ar = 54340.4850374983m²