Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50442 / 49149
↖ ↑ ↗
← S 66.506692°
E 97.086182°		 ← 243.49 m → S 66.506692°
E 97.091675°		 →
↑
243.50 m
↓
↑
243.50 m
↓
S 66.508882°
E 97.086182°		 ← 243.46 m →
59 286 m²		 S 66.508882°
E 97.091675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769691467285156 y=0.749961853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769691467285156 × 216)
    floor (0.769691467285156 × 65536)
    floor (50442.5)     		tx = 50442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749961853027344 × 216)
    floor (0.749961853027344 × 65536)
    floor (49149.5)     		ty = 49149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50442 / 49149 ti = "16/50442/49149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50442/49149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50442 ÷ 216
    50442 ÷ 65536     		x = 0.769683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49149 ÷ 216
    49149 ÷ 65536     		y = 0.749954223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769683837890625 × 2 - 1) × π
    0.53936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69447353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749954223632812 × 2 - 1) × π
    -0.499908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57050870535228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69447353} λ = 1.69447353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57050870535228))-π/2
    2×atan(0.20793937557376)-π/2
    2×0.205017789339956-π/2
    0.410035578679913-1.57079632675     		φ = -1.16076075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69447353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.086182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16076075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.506692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50442 KachelY 49149 1.69447353 -1.16076075 97.086182 -66.506692
    Oben rechts KachelX + 1 50443 KachelY 49149 1.69456940 -1.16076075 97.091675 -66.506692
    Unten links KachelX 50442 KachelY + 1 49150 1.69447353 -1.16079897 97.086182 -66.508882
    Unten rechts KachelX + 1 50443 KachelY + 1 49150 1.69456940 -1.16079897 97.091675 -66.508882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16076075--1.16079897) × R
    3.82200000001998e-05 × 6371000     		dl = 243.499620001273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16076075--1.16079897) × R
    3.82200000001998e-05 × 6371000     		dr = 243.499620001273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69447353-1.69456940) × cos(-1.16076075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398641955951563 × 6371000     		do = 243.485631304088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69447353-1.69456940) × cos(-1.16079897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398606903844591 × 6371000     		du = 243.464221905837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16076075)-sin(-1.16079897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398641955951563-0.398606903844591)×R²
    abs(1.69456940-1.69447353)×3.50521069722443e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50521069722443e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50521069722443e-05×40589641000000     		ar = 59286.0521155611m²