Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50441 / 49641
↖ ↑ ↗
← S 67.561045°
E 97.080688°		 ← 233.16 m → S 67.561045°
E 97.086182°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
S 67.563141°
E 97.080688°		 ← 233.14 m →
54 351 m²		 S 67.563141°
E 97.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769676208496094 y=0.757469177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769676208496094 × 216)
    floor (0.769676208496094 × 65536)
    floor (50441.5)     		tx = 50441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757469177246094 × 216)
    floor (0.757469177246094 × 65536)
    floor (49641.5)     		ty = 49641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50441 / 49641 ti = "16/50441/49641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50441/49641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50441 ÷ 216
    50441 ÷ 65536     		x = 0.769668579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49641 ÷ 216
    49641 ÷ 65536     		y = 0.757461547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769668579101562 × 2 - 1) × π
    0.539337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69437765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757461547851562 × 2 - 1) × π
    -0.514923095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61767861457841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69437765} λ = 1.69437765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61767861457841))-π/2
    2×atan(0.198358631872712)-π/2
    2×0.195816824252868-π/2
    0.391633648505735-1.57079632675     		φ = -1.17916268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69437765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.080688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17916268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.561045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50441 KachelY 49641 1.69437765 -1.17916268 97.080688 -67.561045
    Oben rechts KachelX + 1 50442 KachelY 49641 1.69447353 -1.17916268 97.086182 -67.561045
    Unten links KachelX 50441 KachelY + 1 49642 1.69437765 -1.17919927 97.080688 -67.563141
    Unten rechts KachelX + 1 50442 KachelY + 1 49642 1.69447353 -1.17919927 97.086182 -67.563141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17916268--1.17919927) × R
    3.6590000000114e-05 × 6371000     		dl = 233.114890000726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17916268--1.17919927) × R
    3.6590000000114e-05 × 6371000     		dr = 233.114890000726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69437765-1.69447353) × cos(-1.17916268) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381698881848626 × 6371000     		do = 233.161326891426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69437765-1.69447353) × cos(-1.17919927) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381665061941582 × 6371000     		du = 233.140667951154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17916268)-sin(-1.17919927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381698881848626-0.381665061941582)×R²
    abs(1.69447353-1.69437765)×3.38199070438194e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.38199070438194e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.38199070438194e-05×40589641000000     		ar = 54350.9691233842m²