Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50440 / 49639
↖ ↑ ↗
← S 67.556851°
E 97.075195°		 ← 233.18 m → S 67.556851°
E 97.080688°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 67.558948°
E 97.075195°		 ← 233.16 m →
54 370 m²		 S 67.558948°
E 97.080688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769660949707031 y=0.757438659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769660949707031 × 216)
    floor (0.769660949707031 × 65536)
    floor (50440.5)     		tx = 50440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757438659667969 × 216)
    floor (0.757438659667969 × 65536)
    floor (49639.5)     		ty = 49639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50440 / 49639 ti = "16/50440/49639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50440/49639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50440 ÷ 216
    50440 ÷ 65536     		x = 0.7696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49639 ÷ 216
    49639 ÷ 65536     		y = 0.757431030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757431030273438 × 2 - 1) × π
    -0.514862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61748686697993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69428178} λ = 1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61748686697993))-π/2
    2×atan(0.198396670310785)-π/2
    2×0.195853422418001-π/2
    0.391706844836003-1.57079632675     		φ = -1.17908948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17908948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.556851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50440 KachelY 49639 1.69428178 -1.17908948 97.075195 -67.556851
    Oben rechts KachelX + 1 50441 KachelY 49639 1.69437765 -1.17908948 97.080688 -67.556851
    Unten links KachelX 50440 KachelY + 1 49640 1.69428178 -1.17912608 97.075195 -67.558948
    Unten rechts KachelX + 1 50441 KachelY + 1 49640 1.69437765 -1.17912608 97.080688 -67.558948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17908948--1.17912608) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dl = 233.178600000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17908948--1.17912608) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dr = 233.178600000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69428178-1.69437765) × cos(-1.17908948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381766538614757 × 6371000     		do = 233.178332781121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69428178-1.69437765) × cos(-1.17912608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381732710487368 × 6371000     		du = 233.15767097463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17908948)-sin(-1.17912608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381766538614757-0.381732710487368)×R²
    abs(1.69437765-1.69428178)×3.38281273882801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38281273882801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38281273882801e-05×40589641000000     		ar = 54369.7882489898m²