Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50429 / 58364
↖ ↑ ↗
← N 19.321511°
W 41.492615°		 ← 288.16 m → N 19.321511°
W 41.489868°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.318919°
W 41.492615°		 ← 288.17 m →
83 056 m²		 N 19.318919°
W 41.489868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384746551513672 y=0.445285797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384746551513672 × 217)
    floor (0.384746551513672 × 131072)
    floor (50429.5)     		tx = 50429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445285797119141 × 217)
    floor (0.445285797119141 × 131072)
    floor (58364.5)     		ty = 58364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50429 / 58364 ti = "17/50429/58364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50429/58364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50429 ÷ 217
    50429 ÷ 131072     		x = 0.384742736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58364 ÷ 217
    58364 ÷ 131072     		y = 0.445281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384742736816406 × 2 - 1) × π
    -0.230514526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.72418274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445281982421875 × 2 - 1) × π
    0.10943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.343803444075043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72418274} λ = -0.72418274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343803444075043))-π/2
    2×atan(1.41030140516578)-π/2
    2×0.954010157077316-π/2
    1.90802031415463-1.57079632675     		φ = 0.33722399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72418274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.492615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33722399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.321511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50429 KachelY 58364 -0.72418274 0.33722399 -41.492615 19.321511
    Oben rechts KachelX + 1 50430 KachelY 58364 -0.72413481 0.33722399 -41.489868 19.321511
    Unten links KachelX 50429 KachelY + 1 58365 -0.72418274 0.33717875 -41.492615 19.318919
    Unten rechts KachelX + 1 50430 KachelY + 1 58365 -0.72413481 0.33717875 -41.489868 19.318919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33722399-0.33717875) × R
    4.52399999999464e-05 × 6371000     		dl = 288.224039999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33722399-0.33717875) × R
    4.52399999999464e-05 × 6371000     		dr = 288.224039999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72418274--0.72413481) × cos(0.33722399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943676795301449 × 6371000     		do = 288.163061877321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72418274--0.72413481) × cos(0.33717875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943691762836381 × 6371000     		du = 288.167632394172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33722399)-sin(0.33717875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943676795301449-0.943691762836381)×R²
    abs(-0.72413481--0.72418274)×1.49675349317979e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49675349317979e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49675349317979e-05×40589641000000     		ar = 83056.1805534531m²