Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50429 / 49677
↖ ↑ ↗
← S 67.636407°
E 97.014771°		 ← 232.39 m → S 67.636407°
E 97.020264°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
S 67.638497°
E 97.014771°		 ← 232.37 m →
53 994 m²		 S 67.638497°
E 97.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769493103027344 y=0.758018493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769493103027344 × 216)
    floor (0.769493103027344 × 65536)
    floor (50429.5)     		tx = 50429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758018493652344 × 216)
    floor (0.758018493652344 × 65536)
    floor (49677.5)     		ty = 49677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50429 / 49677 ti = "16/50429/49677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50429/49677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50429 ÷ 216
    50429 ÷ 65536     		x = 0.769485473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49677 ÷ 216
    49677 ÷ 65536     		y = 0.758010864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769485473632812 × 2 - 1) × π
    0.538970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69322717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758010864257812 × 2 - 1) × π
    -0.516021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62113007135106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69322717} λ = 1.69322717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62113007135106))-π/2
    2×atan(0.197675185750162)-π/2
    2×0.19515916541301-π/2
    0.39031833082602-1.57079632675     		φ = -1.18047800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69322717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.014771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18047800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.636407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50429 KachelY 49677 1.69322717 -1.18047800 97.014771 -67.636407
    Oben rechts KachelX + 1 50430 KachelY 49677 1.69332304 -1.18047800 97.020264 -67.636407
    Unten links KachelX 50429 KachelY + 1 49678 1.69322717 -1.18051447 97.014771 -67.638497
    Unten rechts KachelX + 1 50430 KachelY + 1 49678 1.69332304 -1.18051447 97.020264 -67.638497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18047800--1.18051447) × R
    3.64700000001772e-05 × 6371000     		dl = 232.350370001129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18047800--1.18051447) × R
    3.64700000001772e-05 × 6371000     		dr = 232.350370001129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69322717-1.69332304) × cos(-1.18047800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380482819192168 × 6371000     		do = 232.394252657692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69322717-1.69332304) × cos(-1.18051447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38044909192119 × 6371000     		du = 232.373652453063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18047800)-sin(-1.18051447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380482819192168-0.38044909192119)×R²
    abs(1.69332304-1.69322717)×3.37272709782788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37272709782788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37272709782788e-05×40589641000000     		ar = 53994.4973643824m²