Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50428 / 58365
↖ ↑ ↗
← N 19.318919°
W 41.495361°		 ← 288.23 m → N 19.318919°
W 41.492615°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.316327°
W 41.495361°		 ← 288.23 m →
83 075 m²		 N 19.316327°
W 41.492615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384738922119141 y=0.445293426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384738922119141 × 217)
    floor (0.384738922119141 × 131072)
    floor (50428.5)     		tx = 50428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445293426513672 × 217)
    floor (0.445293426513672 × 131072)
    floor (58365.5)     		ty = 58365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50428 / 58365 ti = "17/50428/58365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50428/58365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50428 ÷ 217
    50428 ÷ 131072     		x = 0.384735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58365 ÷ 217
    58365 ÷ 131072     		y = 0.445289611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.23052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.72423068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445289611816406 × 2 - 1) × π
    0.109420776367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.343755507175423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72423068} λ = -0.72423068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343755507175423))-π/2
    2×atan(1.41023380130926)-π/2
    2×0.953987538428023-π/2
    1.90797507685605-1.57079632675     		φ = 0.33717875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72423068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.495361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33717875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.318919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50428 KachelY 58365 -0.72423068 0.33717875 -41.495361 19.318919
    Oben rechts KachelX + 1 50429 KachelY 58365 -0.72418274 0.33717875 -41.492615 19.318919
    Unten links KachelX 50428 KachelY + 1 58366 -0.72423068 0.33713351 -41.495361 19.316327
    Unten rechts KachelX + 1 50429 KachelY + 1 58366 -0.72418274 0.33713351 -41.492615 19.316327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33717875-0.33713351) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33717875-0.33713351) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72423068--0.72418274) × cos(0.33717875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943691762836381 × 6371000     		do = 288.227754996017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72423068--0.72418274) × cos(0.33713351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943706728439899 × 6371000     		du = 288.232325876546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33717875)-sin(0.33713351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943691762836381-0.943706728439899)×R²
    abs(-0.72418274--0.72423068)×1.49656035179913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49656035179913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49656035179913e-05×40589641000000     		ar = 83074.8267181452m²