Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50427 / 58369
↖ ↑ ↗
← N 19.308551°
W 41.498108°		 ← 288.25 m → N 19.308551°
W 41.495361°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.305959°
W 41.498108°		 ← 288.25 m →
83 080 m²		 N 19.305959°
W 41.495361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384731292724609 y=0.445323944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384731292724609 × 217)
    floor (0.384731292724609 × 131072)
    floor (50427.5)     		tx = 50427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445323944091797 × 217)
    floor (0.445323944091797 × 131072)
    floor (58369.5)     		ty = 58369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50427 / 58369 ti = "17/50427/58369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50427/58369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50427 ÷ 217
    50427 ÷ 131072     		x = 0.384727478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58369 ÷ 217
    58369 ÷ 131072     		y = 0.445320129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384727478027344 × 2 - 1) × π
    -0.230545043945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.72427862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445320129394531 × 2 - 1) × π
    0.109359741210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.343563759576942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72427862} λ = -0.72427862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343563759576942))-π/2
    2×atan(1.40996341828804)-π/2
    2×0.953897060244188-π/2
    1.90779412048838-1.57079632675     		φ = 0.33699779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72427862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.498108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33699779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.308551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50427 KachelY 58369 -0.72427862 0.33699779 -41.498108 19.308551
    Oben rechts KachelX + 1 50428 KachelY 58369 -0.72423068 0.33699779 -41.495361 19.308551
    Unten links KachelX 50427 KachelY + 1 58370 -0.72427862 0.33695255 -41.498108 19.305959
    Unten rechts KachelX + 1 50428 KachelY + 1 58370 -0.72423068 0.33695255 -41.495361 19.305959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33699779-0.33695255) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33699779-0.33695255) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72427862--0.72423068) × cos(0.33699779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943751613661663 × 6371000     		do = 288.246034978618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72427862--0.72423068) × cos(0.33695255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943766571539219 × 6371000     		du = 288.25060349944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33699779)-sin(0.33695255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943751613661663-0.943766571539219)×R²
    abs(-0.72423068--0.72427862)×1.495787755601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.495787755601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.495787755601e-05×40589641000000     		ar = 83080.0951084149m²