Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50427 / 49679
↖ ↑ ↗
← S 67.640587°
E 97.003784°		 ← 232.35 m → S 67.640587°
E 97.009277°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
S 67.642677°
E 97.003784°		 ← 232.33 m →
53 985 m²		 S 67.642677°
E 97.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769462585449219 y=0.758049011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769462585449219 × 216)
    floor (0.769462585449219 × 65536)
    floor (50427.5)     		tx = 50427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758049011230469 × 216)
    floor (0.758049011230469 × 65536)
    floor (49679.5)     		ty = 49679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50427 / 49679 ti = "16/50427/49679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50427/49679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50427 ÷ 216
    50427 ÷ 65536     		x = 0.769454956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49679 ÷ 216
    49679 ÷ 65536     		y = 0.758041381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769454956054688 × 2 - 1) × π
    0.538909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69303542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758041381835938 × 2 - 1) × π
    -0.516082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62132181894954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69303542} λ = 1.69303542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62132181894954))-π/2
    2×atan(0.197637285641759)-π/2
    2×0.195122690313349-π/2
    0.390245380626697-1.57079632675     		φ = -1.18055095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69303542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.003784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18055095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.640587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50427 KachelY 49679 1.69303542 -1.18055095 97.003784 -67.640587
    Oben rechts KachelX + 1 50428 KachelY 49679 1.69313129 -1.18055095 97.009277 -67.640587
    Unten links KachelX 50427 KachelY + 1 49680 1.69303542 -1.18058742 97.003784 -67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 50428 KachelY + 1 49680 1.69313129 -1.18058742 97.009277 -67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18055095--1.18058742) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dl = 232.350369999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18055095--1.18058742) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dr = 232.350369999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69303542-1.69313129) × cos(-1.18055095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380415354896034 × 6371000     		do = 232.353046290702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69303542-1.69313129) × cos(-1.18058742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 232.332445467874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18055095)-sin(-1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380415354896034-0.380381626612921)×R²
    abs(1.69313129-1.69303542)×3.37282831128771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37282831128771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37282831128771e-05×40589641000000     		ar = 53984.9229776744m²