Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50422 / 49667
↖ ↑ ↗
← S 67.615497°
E 96.976318°		 ← 232.62 m → S 67.615497°
E 96.981812°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 67.617589°
E 96.976318°		 ← 232.60 m →
54 107 m²		 S 67.617589°
E 96.981812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769386291503906 y=0.757865905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769386291503906 × 216)
    floor (0.769386291503906 × 65536)
    floor (50422.5)     		tx = 50422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757865905761719 × 216)
    floor (0.757865905761719 × 65536)
    floor (49667.5)     		ty = 49667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50422 / 49667 ti = "16/50422/49667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50422/49667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50422 ÷ 216
    50422 ÷ 65536     		x = 0.769378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49667 ÷ 216
    49667 ÷ 65536     		y = 0.757858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769378662109375 × 2 - 1) × π
    0.53875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69255605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757858276367188 × 2 - 1) × π
    -0.515716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62017133335866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69255605} λ = 1.69255605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62017133335866))-π/2
    2×atan(0.197864795339331)-π/2
    2×0.195341637958663-π/2
    0.390683275917327-1.57079632675     		φ = -1.18011305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69255605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.976318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18011305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.615497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50422 KachelY 49667 1.69255605 -1.18011305 96.976318 -67.615497
    Oben rechts KachelX + 1 50423 KachelY 49667 1.69265193 -1.18011305 96.981812 -67.615497
    Unten links KachelX 50422 KachelY + 1 49668 1.69255605 -1.18014956 96.976318 -67.617589
    Unten rechts KachelX + 1 50423 KachelY + 1 49668 1.69265193 -1.18014956 96.981812 -67.617589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18011305--1.18014956) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dl = 232.60520999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18011305--1.18014956) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dr = 232.60520999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69255605-1.69265193) × cos(-1.18011305) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380820295223234 × 6371000     		do = 232.624640950997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69255605-1.69265193) × cos(-1.18014956) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380786536031881 × 6371000     		du = 232.604019098996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18011305)-sin(-1.18014956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380820295223234-0.380786536031881)×R²
    abs(1.69265193-1.69255605)×3.37591913529556e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37591913529556e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37591913529556e-05×40589641000000     		ar = 54107.3050904805m²