Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50421 / 49671
↖ ↑ ↗
← S 67.623863°
E 96.970825°		 ← 232.52 m → S 67.623863°
E 96.976318°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
S 67.625954°
E 96.970825°		 ← 232.50 m →
54 053 m²		 S 67.625954°
E 96.976318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769371032714844 y=0.757926940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769371032714844 × 216)
    floor (0.769371032714844 × 65536)
    floor (50421.5)     		tx = 50421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757926940917969 × 216)
    floor (0.757926940917969 × 65536)
    floor (49671.5)     		ty = 49671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50421 / 49671 ti = "16/50421/49671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50421/49671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50421 ÷ 216
    50421 ÷ 65536     		x = 0.769363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49671 ÷ 216
    49671 ÷ 65536     		y = 0.757919311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769363403320312 × 2 - 1) × π
    0.538726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69246018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757919311523438 × 2 - 1) × π
    -0.515838623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62055482855562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69246018} λ = 1.69246018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62055482855562))-π/2
    2×atan(0.197788929688657)-π/2
    2×0.195268629527121-π/2
    0.390537259054243-1.57079632675     		φ = -1.18025907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69246018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18025907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.623863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50421 KachelY 49671 1.69246018 -1.18025907 96.970825 -67.623863
    Oben rechts KachelX + 1 50422 KachelY 49671 1.69255605 -1.18025907 96.976318 -67.623863
    Unten links KachelX 50421 KachelY + 1 49672 1.69246018 -1.18029556 96.970825 -67.625954
    Unten rechts KachelX + 1 50422 KachelY + 1 49672 1.69255605 -1.18029556 96.976318 -67.625954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18025907--1.18029556) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18025907--1.18029556) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69246018-1.69255605) × cos(-1.18025907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380685273906611 × 6371000     		do = 232.517909521253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69246018-1.69255605) × cos(-1.18029556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380651531179853 × 6371000     		du = 232.497299876423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18025907)-sin(-1.18029556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380685273906611-0.380651531179853)×R²
    abs(1.69255605-1.69246018)×3.37427267573243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37427267573243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37427267573243e-05×40589641000000     		ar = 54052.8541045419m²