Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50420 / 58374
↖ ↑ ↗
← N 19.295590°
W 41.517334°		 ← 288.21 m → N 19.295590°
W 41.514588°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.292998°
W 41.517334°		 ← 288.21 m →
83 069 m²		 N 19.292998°
W 41.514588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384677886962891 y=0.445362091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384677886962891 × 217)
    floor (0.384677886962891 × 131072)
    floor (50420.5)     		tx = 50420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445362091064453 × 217)
    floor (0.445362091064453 × 131072)
    floor (58374.5)     		ty = 58374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50420 / 58374 ti = "17/50420/58374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50420/58374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50420 ÷ 217
    50420 ÷ 131072     		x = 0.384674072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58374 ÷ 217
    58374 ÷ 131072     		y = 0.445358276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.23065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72461417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445358276367188 × 2 - 1) × π
    0.109283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.343324075078842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72461417} λ = -0.72461417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343324075078842))-π/2
    2×atan(1.4096255124108)-π/2
    2×0.953783954447449-π/2
    1.9075679088949-1.57079632675     		φ = 0.33677158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72461417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.517334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33677158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.295590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50420 KachelY 58374 -0.72461417 0.33677158 -41.517334 19.295590
    Oben rechts KachelX + 1 50421 KachelY 58374 -0.72456624 0.33677158 -41.514588 19.295590
    Unten links KachelX 50420 KachelY + 1 58375 -0.72461417 0.33672634 -41.517334 19.292998
    Unten rechts KachelX + 1 50421 KachelY + 1 58375 -0.72456624 0.33672634 -41.514588 19.292998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33677158-0.33672634) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33677158-0.33672634) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72461417--0.72456624) × cos(0.33677158) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943826387037884 × 6371000     		do = 288.208741512963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72461417--0.72456624) × cos(0.33672634) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943841335256872 × 6371000     		du = 288.213306131458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33677158)-sin(0.33672634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943826387037884-0.943841335256872)×R²
    abs(-0.72456624--0.72461417)×1.49482189878425e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.49482189878425e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.49482189878425e-05×40589641000000     		ar = 83069.3456727549m²