Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50420 / 49126
↖ ↑ ↗
← S 66.456275°
E 96.965332°		 ← 244 m → S 66.456275°
E 96.970825°		 →
↑
244.01 m
↓
↑
244.01 m
↓
S 66.458470°
E 96.965332°		 ← 243.98 m →
59 537 m²		 S 66.458470°
E 96.970825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769355773925781 y=0.749610900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769355773925781 × 216)
    floor (0.769355773925781 × 65536)
    floor (50420.5)     		tx = 50420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749610900878906 × 216)
    floor (0.749610900878906 × 65536)
    floor (49126.5)     		ty = 49126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50420 / 49126 ti = "16/50420/49126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50420/49126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50420 ÷ 216
    50420 ÷ 65536     		x = 0.76934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49126 ÷ 216
    49126 ÷ 65536     		y = 0.749603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76934814453125 × 2 - 1) × π
    0.5386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69236430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.49920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56830360796976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69236430} λ = 1.69236430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56830360796976))-π/2
    2×atan(0.208398408066232)-π/2
    2×0.205457756176589-π/2
    0.410915512353177-1.57079632675     		φ = -1.15988081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69236430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15988081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.456275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50420 KachelY 49126 1.69236430 -1.15988081 96.965332 -66.456275
    Oben rechts KachelX + 1 50421 KachelY 49126 1.69246018 -1.15988081 96.970825 -66.456275
    Unten links KachelX 50420 KachelY + 1 49127 1.69236430 -1.15991911 96.965332 -66.458470
    Unten rechts KachelX + 1 50421 KachelY + 1 49127 1.69246018 -1.15991911 96.970825 -66.458470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15988081--1.15991911) × R
    3.82999999999356e-05 × 6371000     		dl = 244.00929999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15988081--1.15991911) × R
    3.82999999999356e-05 × 6371000     		dr = 244.00929999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69236430-1.69246018) × cos(-1.15988081) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.399448800331989 × 6371000     		do = 244.003890867425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69236430-1.69246018) × cos(-1.15991911) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.399413688303183 × 6371000     		du = 243.982442632663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15988081)-sin(-1.15991911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399448800331989-0.399413688303183)×R²
    abs(1.69246018-1.69236430)×3.51120288058504e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.51120288058504e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.51120288058504e-05×40589641000000     		ar = 59536.6018303439m²