Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50418 / 49666
↖ ↑ ↗
← S 67.613405°
E 96.954346°		 ← 232.62 m → S 67.613405°
E 96.959839°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 67.615497°
E 96.954346°		 ← 232.60 m →
54 106 m²		 S 67.615497°
E 96.959839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769325256347656 y=0.757850646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769325256347656 × 216)
    floor (0.769325256347656 × 65536)
    floor (50418.5)     		tx = 50418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757850646972656 × 216)
    floor (0.757850646972656 × 65536)
    floor (49666.5)     		ty = 49666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50418 / 49666 ti = "16/50418/49666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50418/49666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50418 ÷ 216
    50418 ÷ 65536     		x = 0.769317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49666 ÷ 216
    49666 ÷ 65536     		y = 0.757843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769317626953125 × 2 - 1) × π
    0.53863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69217256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.51568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62007545955942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69217256} λ = 1.69217256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62007545955942))-π/2
    2×atan(0.19788376629839)-π/2
    2×0.195359894112074-π/2
    0.390719788224149-1.57079632675     		φ = -1.18007654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69217256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18007654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.613405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50418 KachelY 49666 1.69217256 -1.18007654 96.954346 -67.613405
    Oben rechts KachelX + 1 50419 KachelY 49666 1.69226843 -1.18007654 96.959839 -67.613405
    Unten links KachelX 50418 KachelY + 1 49667 1.69217256 -1.18011305 96.954346 -67.615497
    Unten rechts KachelX + 1 50419 KachelY + 1 49667 1.69226843 -1.18011305 96.959839 -67.615497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18007654--1.18011305) × R
    3.65100000001561e-05 × 6371000     		dl = 232.605210000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18007654--1.18011305) × R
    3.65100000001561e-05 × 6371000     		dr = 232.605210000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69217256-1.69226843) × cos(-1.18007654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380854053906962 × 6371000     		do = 232.620998281288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69217256-1.69226843) × cos(-1.18011305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380820295223234 × 6371000     		du = 232.600378890136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18007654)-sin(-1.18011305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380854053906962-0.380820295223234)×R²
    abs(1.69226843-1.69217256)×3.37586837272918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37586837272918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37586837272918e-05×40589641000000     		ar = 54106.4580728829m²