Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50414 / 49661
↖ ↑ ↗
← S 67.602942°
E 96.932373°		 ← 232.75 m → S 67.602942°
E 96.937866°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 67.605035°
E 96.932373°		 ← 232.73 m →
54 166 m²		 S 67.605035°
E 96.937866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769264221191406 y=0.757774353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769264221191406 × 216)
    floor (0.769264221191406 × 65536)
    floor (50414.5)     		tx = 50414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757774353027344 × 216)
    floor (0.757774353027344 × 65536)
    floor (49661.5)     		ty = 49661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50414 / 49661 ti = "16/50414/49661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50414/49661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50414 ÷ 216
    50414 ÷ 65536     		x = 0.769256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49661 ÷ 216
    49661 ÷ 65536     		y = 0.757766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769256591796875 × 2 - 1) × π
    0.53851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69178906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757766723632812 × 2 - 1) × π
    -0.515533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61959609056322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69178906} λ = 1.69178906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61959609056322))-π/2
    2×atan(0.197978648380752)-π/2
    2×0.195451199158239-π/2
    0.390902398316478-1.57079632675     		φ = -1.17989393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69178906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17989393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.602942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50414 KachelY 49661 1.69178906 -1.17989393 96.932373 -67.602942
    Oben rechts KachelX + 1 50415 KachelY 49661 1.69188494 -1.17989393 96.937866 -67.602942
    Unten links KachelX 50414 KachelY + 1 49662 1.69178906 -1.17993046 96.932373 -67.605035
    Unten rechts KachelX + 1 50415 KachelY + 1 49662 1.69188494 -1.17993046 96.937866 -67.605035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17989393--1.17993046) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dl = 232.73263000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17989393--1.17993046) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dr = 232.73263000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69178906-1.69188494) × cos(-1.17989393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381022895183571 × 6371000     		do = 232.748399436617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69178906-1.69188494) × cos(-1.17993046) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380989120547892 × 6371000     		du = 232.727768150426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17989393)-sin(-1.17993046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381022895183571-0.380989120547892)×R²
    abs(1.69188494-1.69178906)×3.37746356784963e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37746356784963e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37746356784963e-05×40589641000000     		ar = 54165.7463486677m²