Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50411 / 50049
↖ ↑ ↗
← S 68.401202°
E 96.915894°		 ← 224.83 m → S 68.401202°
E 96.921387°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 68.403224°
E 96.915894°		 ← 224.81 m →
50 548 m²		 S 68.403224°
E 96.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769218444824219 y=0.763694763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769218444824219 × 216)
    floor (0.769218444824219 × 65536)
    floor (50411.5)     		tx = 50411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763694763183594 × 216)
    floor (0.763694763183594 × 65536)
    floor (50049.5)     		ty = 50049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50411 / 50049 ti = "16/50411/50049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50411/50049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50411 ÷ 216
    50411 ÷ 65536     		x = 0.769210815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50049 ÷ 216
    50049 ÷ 65536     		y = 0.763687133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769210815429688 × 2 - 1) × π
    0.538421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69150144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763687133789062 × 2 - 1) × π
    -0.527374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65679512466838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69150144} λ = 1.69150144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65679512466838))-π/2
    2×atan(0.190749329352637)-π/2
    2×0.188485068093889-π/2
    0.376970136187779-1.57079632675     		φ = -1.19382619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69150144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.915894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19382619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.401202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50411 KachelY 50049 1.69150144 -1.19382619 96.915894 -68.401202
    Oben rechts KachelX + 1 50412 KachelY 50049 1.69159731 -1.19382619 96.921387 -68.401202
    Unten links KachelX 50411 KachelY + 1 50050 1.69150144 -1.19386148 96.915894 -68.403224
    Unten rechts KachelX + 1 50412 KachelY + 1 50050 1.69159731 -1.19386148 96.921387 -68.403224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19382619--1.19386148) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19382619--1.19386148) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69150144-1.69159731) × cos(-1.19382619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368105044371974 × 6371000     		do = 224.834059177704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69150144-1.69159731) × cos(-1.19386148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368072232058011 × 6371000     		du = 224.81401781763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19382619)-sin(-1.19386148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368105044371974-0.368072232058011)×R²
    abs(1.69159731-1.69150144)×3.28123139639036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28123139639036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28123139639036e-05×40589641000000     		ar = 50547.7708750606m²