Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50408 / 49138
↖ ↑ ↗
← S 66.482592°
E 96.899414°		 ← 243.72 m → S 66.482592°
E 96.904907°		 →
↑
243.75 m
↓
↑
243.75 m
↓
S 66.484784°
E 96.899414°		 ← 243.70 m →
59 406 m²		 S 66.484784°
E 96.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769172668457031 y=0.749794006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769172668457031 × 216)
    floor (0.769172668457031 × 65536)
    floor (50408.5)     		tx = 50408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749794006347656 × 216)
    floor (0.749794006347656 × 65536)
    floor (49138.5)     		ty = 49138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50408 / 49138 ti = "16/50408/49138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50408/49138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50408 ÷ 216
    50408 ÷ 65536     		x = 0.7691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49138 ÷ 216
    49138 ÷ 65536     		y = 0.749786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7691650390625 × 2 - 1) × π
    0.538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69121382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.49957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56945409356064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69121382} λ = 1.69121382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56945409356064))-π/2
    2×atan(0.208158786567561)-π/2
    2×0.205228097275993-π/2
    0.410456194551986-1.57079632675     		φ = -1.16034013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69121382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16034013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.482592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50408 KachelY 49138 1.69121382 -1.16034013 96.899414 -66.482592
    Oben rechts KachelX + 1 50409 KachelY 49138 1.69130969 -1.16034013 96.904907 -66.482592
    Unten links KachelX 50408 KachelY + 1 49139 1.69121382 -1.16037839 96.899414 -66.484784
    Unten rechts KachelX + 1 50409 KachelY + 1 49139 1.69130969 -1.16037839 96.904907 -66.484784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16034013--1.16037839) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dl = 243.754459999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16034013--1.16037839) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dr = 243.754459999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69121382-1.69130969) × cos(-1.16034013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39902767407142 × 6371000     		do = 243.721223214364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69121382-1.69130969) × cos(-1.16037839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398992591697708 × 6371000     		du = 243.699795329558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16034013)-sin(-1.16037839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39902767407142-0.398992591697708)×R²
    abs(1.69130969-1.69121382)×3.50823737123029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50823737123029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50823737123029e-05×40589641000000     		ar = 59405.5235910068m²