Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50405 / 49315
↖ ↑ ↗
← S 66.867557°
E 96.882935°		 ← 239.95 m → S 66.867557°
E 96.888428°		 →
↑
239.93 m
↓
↑
239.93 m
↓
S 66.869715°
E 96.882935°		 ← 239.93 m →
57 570 m²		 S 66.869715°
E 96.888428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769126892089844 y=0.752494812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769126892089844 × 216)
    floor (0.769126892089844 × 65536)
    floor (50405.5)     		tx = 50405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752494812011719 × 216)
    floor (0.752494812011719 × 65536)
    floor (49315.5)     		ty = 49315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50405 / 49315 ti = "16/50405/49315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50405/49315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50405 ÷ 216
    50405 ÷ 65536     		x = 0.769119262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49315 ÷ 216
    49315 ÷ 65536     		y = 0.752487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769119262695312 × 2 - 1) × π
    0.538238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69092620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.504974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58642375602614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69092620} λ = 1.69092620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58642375602614))-π/2
    2×atan(0.204656205085668)-π/2
    2×0.201868644956378-π/2
    0.403737289912756-1.57079632675     		φ = -1.16705904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69092620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.882935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16705904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.867557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50405 KachelY 49315 1.69092620 -1.16705904 96.882935 -66.867557
    Oben rechts KachelX + 1 50406 KachelY 49315 1.69102207 -1.16705904 96.888428 -66.867557
    Unten links KachelX 50405 KachelY + 1 49316 1.69092620 -1.16709670 96.882935 -66.869715
    Unten rechts KachelX + 1 50406 KachelY + 1 49316 1.69102207 -1.16709670 96.888428 -66.869715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16705904--1.16709670) × R
    3.76600000000504e-05 × 6371000     		dl = 239.931860000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16705904--1.16709670) × R
    3.76600000000504e-05 × 6371000     		dr = 239.931860000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69092620-1.69102207) × cos(-1.16705904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392857883824938 × 6371000     		do = 239.952790788347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69092620-1.69102207) × cos(-1.16709670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392823251440596 × 6371000     		du = 239.931637751546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16705904)-sin(-1.16709670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392857883824938-0.392823251440596)×R²
    abs(1.69102207-1.69092620)×3.46323843410934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46323843410934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46323843410934e-05×40589641000000     		ar = 57569.7817694772m²